Упр.13.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\frac{1}{2}|x|<\frac{1}{4}|x+8|$$; б) $$0{,}2|-x|>0{,}04|x-9|$$; в) $$\sqrt{3}\,2|x|\leq 3|-x+9|$$; г) $$\sqrt{5}\,(-3|x|)\geq 5|-9x-1|$$.
а) $$\left(\frac12\right)^{|x|}<\left(\frac14\right)^{|x+8|}$$
$$\left(\frac12\right)^{|x|}<\left(\frac12\right)^{2|x+8|}$$
Так как функция $$\left(\frac12\right)^t$$ убывает, то
$$|x|>2|x+8|.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x^2>4(x+8)^2$$
$$x^2>4x^2+64x+256$$
$$3x^2+64x+256<0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=64^2-4\cdot 3\cdot 256=1024,$$
$$x_{1,2}=\frac{-64\pm 32}{6}.$$
Отсюда
$$x_1=-16,\qquad x_2=-\frac{16}{3}.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$3x^2+64x+256<0 \iff x\in\left(-16;-\frac{16}{3}\right).$$
б) $$0{,}2^{|-x|}>0{,}04^{|x-9|}$$
$$0{,}2^{|-x|}>0{,}2^{2|x-9|}$$
Так как функция $$0{,}2^t$$ убывает, то
$$|-x|<2|x-9|.$$
Поскольку $$|-x|=|x|$$, получаем
$$|x|<2|x-9|.$$
Возведём в квадрат:
$$x^2<4(x-9)^2$$
$$x^2<4x^2-72x+324$$
$$3x^2-72x+324>0.$$
Найдём корни:
$$D=72^2-4\cdot 3\cdot 324=1296,$$
$$x_{1,2}=\frac{72\pm 36}{6}.$$
Отсюда
$$x_1=6,\qquad x_2=18.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$3x^2-72x+324>0 \iff x\in(-\infty;6)\cup(18;+\infty).$$
в) $$(\sqrt3)^{2|x|}\le 3^{|-x+9|}$$
$$3^{|x|}\le 3^{|9-x|}.$$
Так как основание $$3>1$$, то
$$|x|\le |9-x|.$$
Возведём в квадрат:
$$x^2\le (9-x)^2$$
$$x^2\le 81-18x+x^2$$
$$18x\le 81$$
$$x\le 4{,}5.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;4{,}5].$$
г) $$(\sqrt5)^{-3|x|}\ge 5^{-|-9x-1|}$$
$$5^{-1{,}5|x|}\ge 5^{-|-9x-1|}.$$
Так как основание $$5>1$$, то
$$-1{,}5|x|\ge -|-9x-1|.$$
Умножим на $$-1$$ и изменим знак неравенства:
$$1{,}5|x|\le |-9x-1|.$$
Возведём в квадрат:
$$2{,}25x^2\le (9x+1)^2$$
$$2{,}25x^2\le 81x^2+18x+1$$
$$78{,}75x^2+18x+1\ge 0.$$
Умножим на $$4$$:
$$315x^2+72x+4\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=72^2-4\cdot 315\cdot 4=144,$$
$$x_{1,2}=\frac{-72\pm 12}{630}.$$
Отсюда
$$x_1=-\frac{2}{15},\qquad x_2=-\frac{2}{21}.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$315x^2+72x+4\ge 0 \iff x\in\left(-\infty;-\frac{2}{15}\right]\cup\left[-\frac{2}{21};+\infty\right).$$
Ответ
а) $$x\in\left(-16;-\frac{16}{3}\right);$$ б) $$x\in(-\infty;6)\cup(18;+\infty);$$ в) $$x\in(-\infty;4{,}5];$$ г) $$x\in\left(-\infty;-\frac{2}{15}\right]\cup\left[-\frac{2}{21};+\infty\right).$$
