Упр.13.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$2|x-3|\geq\sqrt[4]{2}$$; б) $$5|x+9|\leq\sqrt[3]{25}$$; в) $$\frac{1}{4}|x|(x-1)\geq\frac{1}{16}$$; г) $$0{,}3|x^2-1|\leq0{,}027$$.
а) $$2^{|x-3|}\ge \sqrt[4]{2}$$
$$\sqrt[4]{2}=2^{1/4}$$
Тогда
$$2^{|x-3|}\ge 2^{1/4}\;\Longrightarrow\; |x-3|\ge \frac14.$$
Отсюда
$$x-3\ge \frac14 \quad \text{или} \quad x-3\le -\frac14,$$
то есть
$$x\ge \frac{13}{4} \quad \text{или} \quad x\le \frac{11}{4}.$$
Следовательно,
$$x\in (-\infty;\tfrac{11}{4}] \cup [\tfrac{13}{4};+\infty).$$
б) $$5^{|x+9|}\le \sqrt[3]{25}$$
$$\sqrt[3]{25}=5^{2/3}$$
Тогда
$$5^{|x+9|}\le 5^{2/3}\;\Longrightarrow\; |x+9|\le \frac23.$$
Отсюда
$$-\frac23\le x+9\le \frac23,$$
значит,
$$-9-\frac23\le x\le -9+\frac23.$$
Итак,
$$x\in \left[-\frac{29}{3};-\frac{25}{3}\right].$$
в) $$\frac14\,|x|(x-1)\ge \frac1{16}$$
Умножим обе части на $$16$$:
$$4|x|(x-1)\ge 1.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$ и
$$4x(x-1)\ge 1 \;\Longrightarrow\; 4x^2-4x-1\ge 0.$$
Корни уравнения $$4x^2-4x-1=0$$:
$$x=\frac{4\pm \sqrt{16+16}}{8}=\frac{1\pm \sqrt2}{2}.$$
При $$x\ge 0$$ получаем
$$x\ge \frac{1+\sqrt2}{2}.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$ и
$$4(-x)(x-1)\ge 1 \;\Longrightarrow\; -4x^2+4x\ge 1,$$
то есть
$$4x^2-4x+1\le 0.$$
Но
$$4x^2-4x+1=(2x-1)^2\ge 0,$$
поэтому решений при $$x<0$$ нет.
Следовательно,
$$x\in \left[\frac{1+\sqrt2}{2};+\infty\right).$$
г) $$0{,}3^{|x^2-1|}\le 0{,}027$$
Заметим, что
$$0{,}027=(0{,}3)^3.$$
Так как $$0<0{,}3<1,$$ то из неравенства
$$0{,}3^{|x^2-1|}\le (0{,}3)^3$$
следует
$$|x^2-1|\ge 3.$$
Тогда
$$x^2-1\ge 3 \quad \text{или} \quad x^2-1\le -3.$$
Второе неравенство даёт
$$x^2\le -2,$$
что невозможно. Значит, остаётся
$$x^2\ge 4,$$
откуда
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$
Итак,
$$x\in (-\infty;-2]\cup [2;+\infty).$$
Ответ
а) $$(-\infty;\tfrac{11}{4}] \cup [\tfrac{13}{4};+\infty)$$; б) $$\left[-\tfrac{29}{3};-\tfrac{25}{3}\right]$$; в) $$\left[\tfrac{1+\sqrt2}{2};+\infty\right)$$; г) $$(-\infty;-2]\cup [2;+\infty).$$
