Упр.13.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$3\sqrt{x^2-5x+6}\geqslant 1$$; б) $$0{,}4\sqrt{4x^2-13x+3}\leqslant 1$$; в) $$9\sqrt{5+4x-x^2}\geqslant 1$$; г) $$\frac{4}{5}\sqrt{6+x-x^2}\leqslant 1$$.
а) $$3\sqrt{x^2-5x+6}\ge 1.$$
Так как $$3>1,$$ то неравенство выполняется тогда и только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно:
$$x^2-5x+6\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$
Тогда
$$(x-2)(x-3)\ge 0,$$
откуда
$$x\in(-\infty;2]\cup[3;+\infty).$$
б) $$0{,}4\sqrt{4x^2-13x+3}\le 1.$$
Так как $$0{,}4<1,$$ достаточно, чтобы
$$\sqrt{4x^2-13x+3}\le \frac{1}{0{,}4}=2{,}5,$$
но в данном решении используем условие существования корня:
$$4x^2-13x+3\ge 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 3=169-48=121,$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 11}{8},\quad x_1=\frac14,\quad x_2=3.$$
Тогда
$$4x^2-13x+3=(4x-1)(x-3),$$
и
$$x\in(-\infty;\tfrac14]\cup[3;+\infty).$$
в) $$9\sqrt{5+4x-x^2}\ge 1.$$
Для существования корня нужно:
$$5+4x-x^2\ge 0.$$
Приведём к стандартному виду:
$$x^2-4x-5\le 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-4x-5=(x-5)(x+1).$$
Следовательно,
$$(x-5)(x+1)\le 0,$$
откуда
$$x\in[-1;5].$$
г) $$\left(\frac45\right)\sqrt{6+x-x^2}\le 1.$$
Для существования корня необходимо:
$$6+x-x^2\ge 0.$$
Перепишем:
$$x^2-x-6\le 0.$$
Разложим на множители:
$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$
Тогда
$$(x-3)(x+2)\le 0,$$
откуда
$$x\in[-2;3].$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;2]\cup[3;+\infty);$$ б) $$x\in(-\infty;\tfrac14]\cup[3;+\infty);$$ в) $$x\in[-1;5];$$ г) $$x\in[-2;3].$$
