Упр.13.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$3\left(\frac{x-4}{x}-3\right)<\frac{1}{27}$$;
  б) $$\frac{8}{9}\left(\frac{6x-1}{x}-4\right)\geq\frac{81}{64}$$;
  в) $$8\left(\frac{2-x}{x}-2\right)>\frac{1}{64}$$;
  г) $$\frac{6}{11}\left(\frac{5x+1}{x}-1\right)\leq\frac{121}{36}$$.

а) $$3^{\frac{x-4}{x}-3}<\frac1{27}=3^{-3}.$$

Так как основание $$3>1,$$ сравниваем показатели:

$$\frac{x-4}{x}-3<-3,$$

$$\frac{x-4}{x}<0.$$

При $$x\neq 0$$ получаем:

$$\frac{x-4}{x}<0 \;\;\Longrightarrow\;\; 0<x<4.$$

Ответ: $$x\in(0;4).$$

б) $$\left(\frac89\right)^{\frac{6x-1}{x}-1}\ge \frac{81}{64}=\left(\frac89\right)^{-2}.$$

Так как $$0<\frac89<1,$$ знак неравенства при переходе к показателям меняется:

$$\frac{6x-1}{x}-1\le -2,$$

$$\frac{6x-1}{x}+1\le 0,$$

$$\frac{7x-1}{x}\le 0.$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=\frac17.$$ По знакам дроби:

$$x\in\left(0;\frac17\right].$$

Ответ: $$x\in\left(0;\frac17\right].$$

в) $$8^{\frac{2-x}{x}-2}>\frac1{64}=8^{-2}.$$

Так как основание $$8>1,$$ сравниваем показатели:

$$\frac{2-x}{x}-2>-2,$$

$$\frac{2-x}{x}>0,$$

$$\frac{x-2}{x}<0.$$

Отсюда

$$0<x<2.$$

Ответ: $$x\in(0;2).$$

г) $$\left(\frac6{11}\right)^{\frac{5x+1}{x}+1}\le \frac{121}{36}=\left(\frac6{11}\right)^{-2}.$$

Так как $$0<\frac6{11}<1,$$ знак неравенства при переходе к показателям меняется:

$$\frac{5x+1}{x}+1\ge -2,$$

$$\frac{5x+1}{x}+3\ge 0,$$

$$\frac{8x+1}{x}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=-\frac18.$$ По знакам дроби:

$$x\in\left(-\infty;-\frac18\right]\cup(0;+\infty).$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac18\right]\cup(0;+\infty).$$