Упр.13.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$5\left(\frac{x}{x+3}\right)\le 5$$; б) $$\frac{4}{9}\left(\frac{2x-1}{3x+5}\right)>\frac{4}{9}$$; в) $$17\left(\frac{x}{x-8}\right)\ge 17$$; г) $$0{,}21\left(\frac{3x+4}{x-8}\right)<0{,}21$$.

а) $$\frac{x}{x+3}\le 1$$

$$\frac{x-(x+3)}{x+3}\le 0$$

$$\frac{-3}{x+3}\le 0$$

Так как числитель отрицателен, дробь не превосходит нуля при $$x+3>0$$.

Следовательно, $$x>-3$$.

Ответ: $$x\in(-3;+\infty).$$

б) $$\frac{2x-1}{3x+5}>1$$

$$\frac{2x-1-(3x+5)}{3x+5}>0$$

$$\frac{-x-6}{3x+5}>0$$

Критические точки: $$x=-6$$ и $$x=-\frac53$$.

Исследуем знак дроби:

$$\frac{-x-6}{3x+5}>0 \iff x\in(-\infty;-6)\cup\left(-\frac53;+\infty\right).$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-6)\cup\left(-\frac53;+\infty\right).$$

в) $$\frac{x}{x-8}\ge 1$$

$$\frac{x-(x-8)}{x-8}\ge 0$$

$$\frac{8}{x-8}\ge 0$$

Числитель положителен, значит дробь неотрицательна при $$x-8>0$$.

Отсюда $$x>8$$.

Ответ: $$x\in(8;+\infty).$$

г) $$0{,}21\cdot\frac{3x+4}{x-8}<0{,}21$$

Так как $$0{,}21>0$$, разделим обе части на $$0{,}21$$:

$$\frac{3x+4}{x-8}<1$$

$$\frac{3x+4-(x-8)}{x-8}<0$$

$$\frac{2x+12}{x-8}<0$$

$$\frac{x+6}{x-8}<0$$

Критические точки: $$x=-6$$ и $$x=8$$.

Дробь отрицательна на промежутке между ними:

$$x\in(-6;8).$$

Ответ: $$x\in(-6;8).$$