Упр.13.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- 13.14. Решите неравенство:
а) $$19\frac{2x-3}{x+2}\geq1$$;
б) $$0{,}36\frac{7x+1}{2-x}<1$$;
в) $$37\frac{5x-9}{x+6}\leq1$$;
г) $$\frac{29}{30}\frac{9x-18}{6-x}>1$$.
а) $$19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1.$$
Так как $$19>1,$$ то
$$\frac{2x-3}{x+2}\ge 0.$$
Найдём нули числителя и знаменателя:
$$2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32,$$
$$x+2=0 \Rightarrow x=-2.$$
Исследуем знак дроби:
$$\frac{2x-3}{x+2}\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\in(-\infty;-2)\cup\left[\frac32;+\infty\right).$$
б) $$0{,}36^{\frac{7x+1}{2-x}}<1.$$
Так как $$0<0{,}36<1,$$ то
$$\frac{7x+1}{2-x}>0.$$
Найдём критические точки:
$$7x+1=0 \Rightarrow x=-\frac17,$$
$$2-x=0 \Rightarrow x=2.$$
Тогда
$$\frac{7x+1}{2-x}>0 \quad \Rightarrow \quad x\in\left(-\frac17;2\right).$$
в) $$37^{\frac{5x-9}{x+6}}\le 1.$$
Так как $$37>1,$$ то
$$\frac{5x-9}{x+6}\le 0.$$
Найдём критические точки:
$$5x-9=0 \Rightarrow x=\frac95=1{,}8,$$
$$x+6=0 \Rightarrow x=-6.$$
Следовательно,
$$\frac{5x-9}{x+6}\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\in(-6;1{,}8].$$
г) $$\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}}>1.$$
Так как $$0<\frac{29}{30}<1,$$ то
$$\frac{9x-18}{6-x}<0.$$
Преобразуем дробь:
$$\frac{9x-18}{6-x}=\frac{9(x-2)}{6-x}=-\frac{9(x-2)}{x-6}.$$
Тогда неравенство равносильно
$$\frac{x-2}{x-6}>0.$$
Критические точки: $$x=2$$ и $$x=6.$$ Знак дроби положителен при
$$x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;-2)\cup\left[\frac32;+\infty\right);$$ б) $$x\in\left(-\frac17;2\right);$$ в) $$x\in(-6;1{,}8];$$ г) $$x\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty).$$
