Упр.13.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[2]{x}\ge\sqrt{\frac{6}{36}}$$;

б) $$\sqrt[0{,}1]{x}\cdot\sqrt[0{,}4]{x}\ge 0{,}0016$$;

в) $$\sqrt[2]{x}\cdot\sqrt[5]{x}\ge\sqrt[4]{10}$$;

г) $$\sqrt[\frac{1}{9}]{x}\cdot\sqrt[2]{x}\le\frac{\sqrt[15]{4}}{\sqrt[15]{81}}$$.

а) $$\sqrt[x]{3}\cdot \sqrt[x]{2}\ge \frac{\sqrt6}{36}.$$

Объединим корни:

$$\sqrt[x]{6}\ge \frac{\sqrt6}{36}.$$

Представим правую часть в виде степени числа $$6$$:

$$\frac{\sqrt6}{36}=6^{\frac12-2}=6^{-\frac32}.$$

Тогда

$$6^{\frac1x}\ge 6^{-\frac32}.$$

Так как основание $$6>1$$, получаем

$$\frac1x\ge -\frac32.$$

Решим неравенство:

$$\frac{2+3x}{2x}\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in\left(-\infty;-\frac23\right]\cup(0;+\infty).$$

б) $$\sqrt[x]{0{,}1}\cdot \sqrt[x]{0{,}4}\ge 0{,}0016.$$

Объединим корни:

$$\sqrt[x]{0{,}04}\ge 0{,}0016.$$

Заметим, что

$$0{,}04=(0{,}2)^2,\qquad 0{,}0016=(0{,}04)^2.$$

Тогда

$$0{,}04^{\frac1x}\ge 0{,}04^2.$$

Так как $$0<0{,}04<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

$$\frac1x\le 2.$$

Решаем с учётом области определения $$x>0$$:

$$\frac{2x-1}{x}\ge 0.$$

Получаем

$$x\in\left(0;\frac12\right]\cup(+\infty).$$

С учётом смысла задачи: $$x=2,3,4,\dots$$

в) $$\sqrt[x]{2}\cdot \sqrt[x]{5}\ge \sqrt[4]{10}.$$

Объединим корни:

$$\sqrt[x]{10}\ge \sqrt[4]{10}.$$

То есть

$$10^{\frac1x}\ge 10^{\frac14}.$$

Так как $$10>1$$, имеем

$$\frac1x\ge \frac14.$$

Решаем:

$$\frac{x-4}{4x}\le 0.$$

С учётом $$x>0$$ получаем

$$0<x\le 4.$$

Следовательно, $$x=2,3,4.$$

г) $$\sqrt[x]{\frac19}\cdot \sqrt[x]{2}\le \frac{\sqrt[15]{4}}{\sqrt[15]{81}}.$$

Объединим корни:

$$\sqrt[x]{\frac29}\le \sqrt[15]{\frac4{81}}.$$

Представим числа в виде степеней дроби $$\frac29$$:

$$\frac4{81}=\left(\frac29\right)^2.$$

Тогда

$$\left(\frac29\right)^{\frac1x}\le \left(\frac29\right)^{\frac2{15}}.$$

Так как $$0<\frac29<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

$$\frac1x\ge \frac2{15}.$$

Решаем:

$$\frac{2x-15}{15x}\le 0.$$

С учётом $$x>0$$ получаем

$$0<x\le 7{,}5.$$

Следовательно, $$x=2,3,4,5,6,7.$$

Ответ

а) $$x\in\left(-\infty;-\frac23\right]\cup(0;+\infty);$$ б) $$x=2,3,4,\dots;$$ в) $$x=2,3,4;$$ г) $$x=2,3,4,5,6,7.$$