Упр.13.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$2^x\cdot 3^x\geq 36^x\sqrt{6}$$; б) $$\left(\frac{1}{3}\right)^x\cdot 4^x<\left(\frac{16}{9}\right)^{x-1}$$; в) $$3^x\cdot 5^x\leq 225^x\sqrt{15}$$; г) $$\left(\frac{2}{11}\right)^x\cdot 3^x>\left(\frac{36}{121}\right)^{2x+3}$$.

а) $$2^x\cdot 3^x \ge 36^x\cdot \sqrt{6}$$

$$6^x \ge (6^2)^x\cdot 6^{\frac12}$$

$$6^x \ge 6^{2x+\frac12}$$

Так как основание $$6>1$$, сравниваем показатели:

$$x \ge 2x+\frac12$$

$$-x \ge \frac12$$

$$x \le -\frac12$$

Ответ: $$x\in(-\infty;\,-0{,}5]$$

б) $$\left(\frac13\right)^x\cdot 4^x < \left(\frac{16}{9}\right)^{x-1}$$

$$\left(\frac43\right)^x < \left(\frac43\right)^{2x-2}$$

Так как основание $$\frac43>1$$, получаем:

$$x < 2x-2$$

$$-x < -2$$

$$x>2$$

Ответ: $$x\in(2;\,+\infty)$$

в) $$3^x\cdot 5^x \le 225^x\cdot \sqrt{15}$$

$$15^x \le (15^2)^x\cdot 15^{\frac12}$$

$$15^x \le 15^{2x+\frac12}$$

Так как основание $$15>1$$, имеем:

$$x \le 2x+\frac12$$

$$-x \le \frac12$$

$$x \ge -\frac12$$

Ответ: $$x\in\left[-0{,}5;\,+\infty\right)$$

г) $$\left(\frac{2}{11}\right)^x\cdot 3^x > \left(\frac{36}{121}\right)^{2x+3}$$

$$\left(\frac{6}{11}\right)^x > \left(\frac{6}{11}\right)^{2(2x+3)}$$

Так как $$0<\frac{6}{11}<1$$, при сравнении показателей знак неравенства меняется:

$$x < 2(2x+3)$$

$$x < 4x+6$$

$$-3x < 6$$

$$x>-2$$

Ответ: $$x\in(-2;\,+\infty)$$