Упр.12.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

12.9. Решите уравнение:
а) $$\sqrt{625}\cdot\sqrt{5^{14x-9}}=\sqrt[6]{125\cdot5^{6x-12}}$$;
б) $$\sqrt[3]{0,2}\cdot\sqrt{0,2^{2x-\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{0,04^{-3x+6}}$$.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{625}\cdot \sqrt{5^{14x-9}}=\sqrt[6]{125\cdot 5^{6x-12}}$$

Представим всё в виде степеней числа $$5$$:

$$\sqrt{625}=5^2,\qquad \sqrt{5^{14x-9}}=5^{\frac{14x-9}{2}},\qquad \sqrt[6]{125\cdot 5^{6x-12}}=\sqrt[6]{5^3\cdot 5^{6x-12}}=5^{\frac{6x-9}{6}}.$$

Тогда

$$5^2\cdot 5^{\frac{14x-9}{2}}=5^{\frac{6x-9}{6}}$$

$$5^{2+\frac{14x-9}{2}}=5^{\frac{6x-9}{6}}$$

Приравниваем показатели:

$$2+\frac{14x-9}{2}=\frac{6x-9}{6}$$

$$12+42x-27=6x-9$$

$$36x=6$$

$$x=\frac16.$$

б) $$\sqrt[3]{0{,}2}\cdot \sqrt{0{,}2^{\,2x-\frac13}}=\sqrt[3]{0{,}04^{-3x+6}}$$

Преобразуем правую часть: $$0{,}04=(0{,}2)^2$$, значит

$$\sqrt[3]{0{,}04^{-3x+6}}=\sqrt[3]{(0{,}2)^{2(-3x+6)}}=(0{,}2)^{\frac{-6x+12}{3}}=(0{,}2)^{-2x+4}.$$

Левую часть запишем как степень числа $$0{,}2$$:

$$\sqrt[3]{0{,}2}\cdot \sqrt{0{,}2^{\,2x-\frac13}}=(0{,}2)^{\frac13}\cdot (0{,}2)^{\frac{2x-\frac13}{2}}=(0{,}2)^{\frac13+x-\frac16}=(0{,}2)^{x+\frac16}.$$

Получаем уравнение

$$x+\frac16=-2x+4$$

$$3x=\frac{23}{6}$$

$$x=\frac{23}{18}=1\frac{5}{18}.$$