Упр.12.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) система $$\begin{cases}2^{2x}+2^x y=10,\\y^2+y2^x=15;\end{cases}$$ б) система $$\begin{cases}7^{2x}-7^x y=28,\\y^2-y7^x=-12.\end{cases}$$

Обозначим $$t=2^x$$. Тогда $$t>0$$ и система принимает вид

$$\begin{cases} t^2+ty=10,\\ y^2+ty=15. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$y^2-t^2=5,$$

или

$$(y-t)(y+t)=5.$$

Сложим уравнения системы:

$$t^2+2ty+y^2=25,$$

то есть

$$(t+y)^2=25.$$

Следовательно,

$$t+y=5 \quad \text{или} \quad t+y=-5.$$

Так как $$t>0$$, а из второго уравнения системы $$y^2+ty=15$$ получаем $$y(y+t)=15$$, то случай $$t+y=-5$$ невозможен. Значит,

$$t+y=5.$$

Тогда из первого уравнения

$$t^2+t(5-t)=10,$$

откуда

$$5t=10,\quad t=2.$$

Тогда

$$y=5-t=3.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем

$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$

Пара $$\,(1;3)\,$$ удовлетворяет системе.

Ответ

$$(1;3)$$