Упр.12.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 12.46. Решите систему уравнений:
   а) $$\sqrt{3(x-1)}\cdot\sqrt{9y-27},\qquad \frac{2(2x+y)}{2x}=64$$;
   б) $$\frac{\sqrt{6(x-2y)}}{\sqrt{6x}}=\frac{1}{6},\qquad \frac{1}{3}(2x-y)\cdot3(x-2y)=\frac{1}{3}$$.

а) Преобразуем уравнения системы:

$$\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}}\cdot \sqrt{9^y}=27,\\ 2^{2x+y}:2^x=64. \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\sqrt{3^{x-1}}\cdot \sqrt{9^y}=27$$
$$3^{\frac{x-1}{2}}\cdot 3^y=3^3$$
$$\frac{x-1}{2}+y=3$$
$$x+2y=7.$$

Второе уравнение:

$$2^{2x+y}:2^x=64$$
$$2^{2x+y-x}=2^6$$
$$x+y=6.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} x+2y=7,\\ x+y=6. \end{cases}$$
$$y=1,\quad x=5.$$

Ответ: $$(5;1).$$

б) Преобразуем уравнения системы:

$$\begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}}:\sqrt{6^x}=\frac16,\\ \left(\frac13\right)^{2x-y}\cdot 3^{x-2y}=\frac13. \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\sqrt{6^{x-2y}}:\sqrt{6^x}=\frac16$$
$$6^{\frac{x-2y}{2}}:6^{\frac{x}{2}}=6^{-1}$$
$$6^{\frac{x-2y-x}{2}}=6^{-1}$$
$$— y=-1$$
$$y=1.$$

Второе уравнение:

$$\left(\frac13\right)^{2x-y}\cdot 3^{x-2y}=\frac13$$
$$3^{y-2x}\cdot 3^{x-2y}=3^{-1}$$
$$x+y=1.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} y=1,\\ x+y=1. \end{cases}$$
$$x=0.$$

Ответ: $$(0;1).$$