Упр.12.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\begin{cases}(\sqrt{3})^{x+2y}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{27},\\ 0{,}1^x\cdot 10^{3y}=10.\end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3^3}=(\sqrt{3})^4,$$

значит, $$x+2y=4.$$

Второе уравнение:

$$0{,}1^x\cdot 10^{3y}=10,$$

$$10^{-x}\cdot 10^{3y}=10^1,$$

$$3y-x=1.$$

Решим систему:

$$\begin{cases}x+2y=4,\\ 3y-x=1.\end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$5y=5,\quad y=1,$$

$$x=4-2\cdot 1=2.$$

Ответ: $$\left(2;\,1\right).$$

б) $$\begin{cases}27^y\cdot 3^x=1,\\ \left(\dfrac12\right)^x\cdot 4^y=2.\end{cases}$$

Первое уравнение:

$$27^y\cdot 3^x=1,$$

$$3^{3y}\cdot 3^x=3^0,$$

$$3y+x=0,$$

$$x=-3y.$$

Второе уравнение:

$$\left(\dfrac12\right)^x\cdot 4^y=2,$$

$$2^{-x}\cdot 2^{2y}=2^1,$$

$$2y-x=1.$$

Подставим $$x=-3y$$:

$$2y+3y=1,$$

$$5y=1,\quad y=0{,}2,$$

$$x=-3\cdot 0{,}2=-0{,}6.$$

Ответ: $$\left(-0{,}6;\,0{,}2\right).$$

в) $$\begin{cases}(\sqrt{5})^{2x+y}=\sqrt{\dfrac15}\cdot \sqrt{5},\\ \left(\dfrac15\right)^x\cdot 5^y=125.\end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\sqrt{\dfrac15}\cdot \sqrt{5}=1=(\sqrt{5})^0,$$

значит, $$2x+y=0,$$

$$y=-2x.$$

Второе уравнение:

$$\left(\dfrac15\right)^x\cdot 5^y=125,$$

$$5^{-x}\cdot 5^y=5^3,$$

$$y-x=3,$$

$$y=x+3.$$

Решим систему:

$$\begin{cases}y=-2x,\\ y=x+3.\end{cases}$$

$$-2x=x+3,$$

$$-3x=3,\quad x=-1,$$

$$y=-2\cdot(-1)=2.$$

Ответ: $$\left(-1;\,2\right).$$

г) $$\begin{cases}5^y\cdot 25^x=625,\\ \left(\dfrac13\right)^x\cdot 9^y=\dfrac1{27}.\end{cases}$$

Первое уравнение:

$$5^y\cdot 25^x=625,$$

$$5^y\cdot 5^{2x}=5^4,$$

$$y+2x=4,$$

$$y=4-2x.$$

Второе уравнение:

$$\left(\dfrac13\right)^x\cdot 9^y=\dfrac1{27},$$

$$3^{-x}\cdot 3^{2y}=3^{-3},$$

$$2y-x=-3.$$

Подставим $$y=4-2x$$:

$$2(4-2x)-x=-3,$$

$$8-5x=-3,$$

$$-5x=-11,\quad x=2{,}2,$$

$$y=4-2\cdot 2{,}2=-0{,}4.$$

Ответ: $$\left(2{,}2;\,-0{,}4\right).$$