Упр.12.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- 12.44. Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}2(x+y)=16,\\3y=27x;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}(0{,}5)^{3x}\cdot(0{,}5)^y=0{,}5,\\2^{3x}\cdot2^{-y}=32;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}5(2x-y)=125,\\4(x-y)=4;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}(0{,}6)^{x+y}\cdot(0{,}6)^x=0{,}6,\\10^x\cdot10^y=(0{,}01)^{-1}.\end{cases}$$
а) $$\begin{cases}2^{x+y}=16,\\3^y=27^x.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$3^y=(3^3)^x=3^{3x},$$
значит, $$y=3x.$$
Из первого уравнения:
$$2^{x+y}=2^4,$$
следовательно, $$x+y=4.$$
Подставим $$y=3x$$:
$$x+3x=4,$$
$$4x=4,$$
$$x=1,\quad y=3.$$
Ответ: $$(1;3).$$
б) $$\begin{cases}0{,}5^{3x}\cdot 0{,}5^y=0{,}5,\\2^{3x}\cdot 2^{-y}=32.\end{cases}$$
Первое уравнение:
$$0{,}5^{3x+y}=0{,}5^1,$$
откуда $$3x+y=1.$$
Второе уравнение:
$$2^{3x-y}=2^5,$$
значит, $$3x-y=5.$$
Решим систему:
$$\begin{cases}3x+y=1,\\3x-y=5.\end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$6x=6,$$
$$x=1.$$
Тогда
$$y=1-3\cdot 1=-2.$$
Ответ: $$(1;-2).$$
в) $$\begin{cases}5^{2x-y}=125,\\4^{x-y}=4.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$4^{x-y}=4^1,$$
значит, $$x-y=1,$$
то есть $$y=x-1.$$
Из первого уравнения:
$$5^{2x-y}=5^3,$$
следовательно, $$2x-y=3.$$
Подставим $$y=x-1$$:
$$2x-(x-1)=3,$$
$$x+1=3,$$
$$x=2,\quad y=1.$$
Ответ: $$(2;1).$$
г) $$\begin{cases}0{,}6^{x+y}\cdot 0{,}6^x=0{,}6,\\10^x\cdot 10^y=(0{,}01)^{-1}.\end{cases}$$
Первое уравнение:
$$0{,}6^{2x+y}=0{,}6^1,$$
значит, $$2x+y=1.$$
Второе уравнение:
$$10^{x+y}=(0{,}01)^{-1}.$$
Так как $$0{,}01=10^{-2},$$ то
$$10^{x+y}=10^2,$$
следовательно, $$x+y=2.$$
Решим систему:
$$\begin{cases}2x+y=1,\\x+y=2.\end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$x=-1.$$
Тогда
$$y=2-(-1)=3.$$
Ответ: $$( -1;3).$$
