Упр.12.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$|3x-a|+|3x+a|=2$$ имеет бесконечно много корней?

Положим $$t=3^x.$$ Тогда $$t>0$$ и уравнение принимает вид

$$|t-a|+|t+a|=2.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$t\ge a$$ и $$t\ge -a,$$ то

   $$|t-a|+|t+a|=(t-a)+(t+a)=2t.$$

   Тогда $$2t=2,$$ откуда $$t=1.$$ Чтобы корней было бесконечно много, это значение должно подходить при любом $$x,$$ что невозможно. Значит, этот случай даёт только один корень.

2. Если $$t\le a$$ и $$t\le -a,$$ то

   $$|t-a|+|t+a|=(a-t)+(-a-t)=-2t.$$

   Тогда $$-2t=2,$$ откуда $$t=-1,$$ но это невозможно, так как $$t=3^x>0.$$

3. Если $$t\ge a$$ и $$t\le -a,$$ то

   $$|t-a|+|t+a|=(t-a)+(-a-t)=-2a.$$

   Получаем

   $$-2a=2,$$

   откуда $$a=-1.$$

   В этом случае уравнение превращается в тождество $$|t+1|+|t-1|=2$$ при всех $$t\ge 1,$$ а значит, решений по $$x$$ бесконечно много.

4. Если $$t\le a$$ и $$t\ge -a,$$ то

   $$|t-a|+|t+a|=(a-t)+(t+a)=2a.$$

   Тогда $$2a=2,$$ откуда $$a=1.$$

   В этом случае уравнение также имеет бесконечно много решений.

Ответ: $$a=\pm 1.$$