Упр.12.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$m$$ уравнение $$x^2-(2m-1)x-3(4(m-1)-2(m-2))=0$$ имеет единственный корень?

Рассмотрим квадратное уравнение

$$x^2-(2^m-1)x-3\bigl(4^{m-1}-2^{m-2}\bigr)=0.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D=(2^m-1)^2+4\cdot 3\bigl(4^{m-1}-2^{m-2}\bigr).$$

Преобразуем:

$$\begin{aligned} D&=2^{2m}-2\cdot 2^m+1+12\cdot 2^{2m-2}-12\cdot 2^{m-2}\\ &=2^{2m}-2^{m+1}+1+3\cdot 2^{2m}-3\cdot 2^m\\ &=4\cdot 2^{2m}-5\cdot 2^m+1. \end{aligned}$$

Обозначим $$t=2^m$$, тогда $$t>0$$ и

$$4t^2-5t+1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$4t^2-5t+1=(4t-1)(t-1)=0.$$

Отсюда

$$t=\frac14 \quad \text{или} \quad t=1.$$

Возвращаясь к $$t=2^m$$, получаем:

$$2^m=\frac14 \Rightarrow m=-2,$$

$$2^m=1 \Rightarrow m=0.$$

Ответ: $$-2;\ 0.$$