Упр.12.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$9^x+3^x+a^2-14a=0$$ имеет единственный корень?
   б) При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$4^x-3\cdot2^x+a^2-4a=0$$ имеет два корня?

а) Обозначим $$t=3^x.$$ Тогда $$t>0$$ и уравнение принимает вид

$$t^2+t+a^2-14a=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, квадратное уравнение по $$t$$ должно иметь единственный положительный корень. Это возможно, если его свободный член отрицателен:

$$a^2-14a<0.$$

Решаем неравенство:

$$a(a-14)<0,$$

откуда

$$0<a<14.$$

б) Обозначим $$t=2^x.$$ Тогда $$t>0$$ и уравнение перепишется так:

$$t^2-3t+a^2-4a=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело два корня, квадратное уравнение по $$t$$ должно иметь два различных положительных корня. Для этого нужно:

1. $$D>0,$$
2. $$t_1+t_2>0,$$
3. $$t_1t_2>0.$$

По теореме Виета:

$$t_1+t_2=3>0,$$

$$t_1t_2=a^2-4a.$$

Значит, необходимо

$$a^2-4a>0,$$

то есть

$$a(a-4)>0,$$

откуда

$$a<0 \text{ или } a>4.$$

Теперь найдём условие на дискриминант:

$$D=9-4(a^2-4a)>0,$$

$$-4a^2+16a+9>0,$$

$$4a^2-16a-9<0.$$

Корни соответствующего квадратного трёхчлена:

$$a_{1,2}=\frac{16\pm 20}{8},$$

то есть

$$a_1=-\frac12,\qquad a_2=\frac92.$$

Следовательно,

$$-\frac12<a<\frac92.$$

Пересекаем это с условием $$a<0$$ или $$a>4$$:

$$a\in\left(-\frac12,0\right)\cup\left(4,\frac92\right).$$

Ответ

а) $$a\in(0;14).$$
б) $$a\in\left(-0{,}5;0\right)\cup\left(4;4{,}5\right).$$