Упр.12.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- При каких значениях параметра $$a$$ уравнение не имеет корней:
а) $$4^8 \cdot 4^x + 2^7 = a + a \cdot 4^{x+2}$$;
б) $$9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$$?
а) $$48\cdot 4^x+27=a+a\cdot 4^{x+2}$$
Перенесём слагаемые с $$4^x$$ в одну сторону:
$$48\cdot 4^x-a\cdot 4^{x+2}=a-27$$
Так как $$4^{x+2}=16\cdot 4^x$$, получаем:
$$4^x(48-16a)=a-27$$
$$4^x=\frac{a-27}{48-16a}=\frac{a-27}{16(3-a)}$$
Уравнение не имеет корней, если правая часть не положительна:
$$\frac{a-27}{48-16a}\le 0$$
Рассмотрим знак дроби. Она не положительна при
$$a<3 \quad \text{или} \quad a\ge 27.$$
При $$a=3$$ получаем:
$$48\cdot 4^x+27=3+3\cdot 4^{x+2}$$
$$48\cdot 4^x+27=3+48\cdot 4^x$$
$$27=3,$$
что невозможно, значит корней нет.
Итак, для пункта а):
$$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty).$$
б) $$9^x+2a\cdot 3^{x+1}+9=0$$
Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и $$9^x=3^{2x}=t^2$$, $$3^{x+1}=3t$$. Получаем:
$$t^2+6at+9=0$$
Это квадратное уравнение относительно $$t$$. Чтобы оно не имело корней, достаточно, чтобы дискриминант был отрицательным:
$$D=(6a)^2-4\cdot 1\cdot 9=36a^2-36=36(a^2-1)<0$$
$$a^2-1<0$$
$$-1<a<1.$$
При $$D\ge 0$$ корни по $$t$$ могут быть, но они должны быть положительными. Найдём больший корень:
$$t=\frac{-6a+6\sqrt{a^2-1}}{2}=3\left(-a+\sqrt{a^2-1}\right).$$
Чтобы корней по $$x$$ не было, нужно, чтобы оба корня по $$t$$ были неположительными. Это выполняется при
$$a\ge 1.$$
Совмещая с условием отсутствия действительных корней при $$-1<a<1$$, получаем:
$$a\in(-1;+\infty).$$
Ответ: а) $$a\in(-\infty;3]\cup[27;+\infty)$$; б) $$a\in(-1;+\infty).$$
