Упр.12.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$9x+6x=2^{2x+1}$$;

б) $$25^{2x+6}+16\cdot4^{2x+4}=20\cdot10^{2x+5}$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$9^x+6^x=2^{2x+1}$$

$$3^{2x}+2^x\cdot 3^x-2\cdot 2^{2x}=0$$

Разделим обе части на $$2^{2x}$$:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x}+\left(\frac{3}{2}\right)^x-2=0$$

Обозначим $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x$$, тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2+t-2=0$$

$$D=1+8=9$$

$$t_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad t_2=\frac{-1+3}{2}=1$$

Так как $$t=\left(\frac{3}{2}\right)^x>0$$, значение $$t=-2$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=1$$

$$x=0$$

Ответ: $$0$$.

б) Решим уравнение:

$$25^{2x+6}+16\cdot 4^{2x+4}=20\cdot 10^{2x+5}$$

Представим всё через основания $$5$$ и $$2$$:

$$5^{4x+12}+2^4\cdot 2^{4x+8}=20\cdot 2^{2x+5}\cdot 5^{2x+5}$$

$$5^{4x+12}+2^{4x+12}=20\cdot 2^{2x+5}\cdot 5^{2x+5}$$

Разделим обе части на $$2^{4x+12}$$:

$$\left(\frac{5}{2}\right)^{4x+12}+1=20\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x+5}\cdot 2^{-2x-7}$$

Удобнее сразу ввести новую переменную:

$$y=\left(\frac{5}{2}\right)^{2x+6}$$

Тогда уравнение приводится к виду

$$625y^2-200y+16=0$$

$$\left(25y-4\right)^2=0$$

$$y=\frac{4}{25}$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\left(\frac{5}{2}\right)^{2x+6}=\frac{4}{25}=\left(\frac{2}{5}\right)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^{-2}$$

Следовательно,

$$2x+6=-2$$

$$2x=-8$$

$$x=-4$$

Ответ: $$-4$$.