Упр.12.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$3\cdot 2^x+6^x-2\cdot 3^{2x}=0$$; б) $$2\cdot 2^{2x}-3\cdot 10^x-5\cdot 5^{2x}=0$$; в) $$3(2^x+1)-4\cdot 21^x-7\cdot 7^{2x}=0$$; г) $$5\cdot 3^{2x}+7\cdot 15^x-6\cdot 25^x=0$$.

а) Разделим уравнение на $$3^{2x}$$:

$$3\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{2}{3}\right)^x-2=0.$$

Пусть $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$$, тогда получаем:

$$3y^2+y-2=0.$$

$$D=1+24=25,$$

$$y_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+5}{6}=\frac{2}{3}.$$

Так как $$\left(\frac{2}{3}\right)^x>0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3},$$

откуда $$x=1$$.

б) Разделим уравнение на $$5^{2x}$$:

$$2\left(\frac{2}{5}\right)^{2x}-3\left(\frac{2}{5}\right)^x-5=0.$$

Пусть $$y=\left(\frac{2}{5}\right)^x$$, тогда:

$$2y^2-3y-5=0.$$

$$D=9+40=49,$$

$$y_1=\frac{3-7}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{3+7}{4}=\frac{5}{2}.$$

Так как $$\left(\frac{2}{5}\right)^x>0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x=\frac{5}{2},$$

откуда $$x=-1$$.

в) Разделим уравнение на $$7^{2x}$$:

$$3\left(\frac{3}{7}\right)^{2x}-4\left(\frac{3}{7}\right)^x-7=0.$$

Пусть $$y=\left(\frac{3}{7}\right)^x$$, тогда:

$$3y^2-4y-7=0.$$

$$D=16+84=100,$$

$$y_1=\frac{4-10}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{4+10}{6}=\frac{7}{3}.$$

Так как $$\left(\frac{3}{7}\right)^x>0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac{3}{7}\right)^x=\frac{7}{3},$$

откуда $$x=-1$$.

г) Разделим уравнение на $$5^{2x}$$:

$$5\left(\frac{3}{5}\right)^{2x}+7\left(\frac{3}{5}\right)^x-6=0.$$

Пусть $$y=\left(\frac{3}{5}\right)^x$$, тогда:

$$5y^2+7y-6=0.$$

$$D=49+120=169,$$

$$y_1=\frac{-7-13}{10}=-2,\qquad y_2=\frac{-7+13}{10}=\frac{3}{5}.$$

Так как $$\left(\frac{3}{5}\right)^x>0$$, значение $$y=-2$$ не подходит. Тогда

$$\left(\frac{3}{5}\right)^x=\frac{3}{5},$$

откуда $$x=1$$.

Ответ

а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$-1$$; г) $$1$$.