Упр.12.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$5(2x^2-1)-3\cdot5(x+1)(x+2)=2\cdot5^6(x+1)$$; б) $$3(2x^2-1)-3(x-1)(x+5)=2\cdot3^8(x-1)$$.

а) Разделим обе части уравнения на $$5^{6x+6}$$:

$$5^{2x^2-1-6x-6}-3\cdot 5^{(x+1)(x+2)-6x-6}=2.$$

Получаем:

$$5^{2x^2-6x-7}-3\cdot 5^{x^2-3x-4}=2.$$

Вынесем общий множитель:

$$5\cdot 5^{2(x^2-3x-4)}-3\cdot 5^{x^2-3x-4}-2=0.$$

Пусть $$y=5^{x^2-3x-4}$$, тогда

$$5y^2-3y-2=0.$$

$$D=3^2+4\cdot 5\cdot 2=9+40=49,$$

$$y_1=\frac{3-7}{2\cdot 5}=-\frac{2}{5}, \qquad y_2=\frac{3+7}{2\cdot 5}=1.$$

Так как $$5^{x^2-3x-4}>0,$$ значение $$y=-\frac{2}{5}$$ не подходит. Тогда

$$5^{x^2-3x-4}=1,$$

откуда

$$x^2-3x-4=0.$$

$$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25,$$

$$x_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{3+5}{2}=4.$$

б) Разделим обе части уравнения на $$3^{8x-8}$$:

$$3^{2x^2-1-(8x-8)}-3^{(x-1)(x+5)-(8x-8)}=2.$$

Получаем:

$$3^{2x^2-8x+7}-3^{x^2-4x+3}=2.$$

Преобразуем:

$$3\cdot 3^{2(x^2-4x+3)}-3^{x^2-4x+3}-2=0.$$

Пусть $$y=3^{x^2-4x+3}$$, тогда

$$3y^2-y-2=0.$$

$$D=1^2+4\cdot 3\cdot 2=1+24=25,$$

$$y_1=\frac{1-5}{2\cdot 3}=-\frac{2}{3}, \qquad y_2=\frac{1+5}{2\cdot 3}=1.$$

Так как $$3^{x^2-4x+3}>0,$$ значение $$y=-\frac{2}{3}$$ не подходит. Тогда

$$3^{x^2-4x+3}=1,$$

откуда

$$x^2-4x+3=0.$$

$$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4,$$

$$x_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad x_2=\frac{4+2}{2}=3.$$

Ответ: а) $$-1,\,4$$; б) $$1,\,3$$.