Упр.12.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$18x-8\cdot6x-9\cdot2x=0$$; б) $$12x-6(x+1)+8\cdot3x=0$$.

а) $$18^x-8\cdot 6^x-9\cdot 2^x=0$$

Представим степени через основание $$2$$:

$$18^x=(2\cdot 3^2)^x=2^x\cdot 3^{2x}, \qquad 6^x=2^x\cdot 3^x.$$

Тогда

$$2^x\cdot 3^{2x}-8\cdot 2^x\cdot 3^x-9\cdot 2^x=0,$$

$$2^x\bigl(3^{2x}-8\cdot 3^x-9\bigr)=0.$$

Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, получаем

$$3^{2x}-8\cdot 3^x-9=0.$$

Пусть $$y=3^x$$, тогда $$y>0$$ и

$$y^2-8y-9=0.$$

$$D=64+36=100,$$

$$y_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}.$$

Получаем $$y_1=-1$$ и $$y_2=9$$. Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$y>0$$. Тогда

$$3^x=9,$$

$$x=2.$$

б) $$12^x-6^{x+1}+8\cdot 3^x=0$$

Представим всё через $$2^x$$ и $$3^x$$:

$$12^x=(3\cdot 2^2)^x=3^x\cdot 2^{2x}, \qquad 6^{x+1}=6\cdot 6^x=6\cdot 2^x\cdot 3^x.$$

Тогда

$$3^x\cdot 2^{2x}-6\cdot 2^x\cdot 3^x+8\cdot 3^x=0,$$

$$3^x\bigl(2^{2x}-6\cdot 2^x+8\bigr)=0.$$

Так как $$3^x>0$$, имеем

$$2^{2x}-6\cdot 2^x+8=0.$$

Пусть $$y=2^x$$, тогда $$y>0$$ и

$$y^2-6y+8=0.$$

$$D=36-32=4,$$

$$y_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}.$$

Получаем $$y_1=2$$ и $$y_2=4$$. Тогда

$$2^x=2 \Rightarrow x=1,$$

$$2^x=4 \Rightarrow x=2.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$1,\,2$$.