Упр.12.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{2x+1}{2(x+2)-2}=1$$

б) $$\frac{5(4x-1)+3}{5^4x-3}=2$$

в) $$\frac{3(x+1)-1}{3x+4}=2$$

г) $$\frac{7^2x-1}{7(2x-1)+1}=3$$

а) $$\frac{2^x+1}{2^{x+2}-2}=1$$

Так как $$2^{x+2}=4\cdot 2^x,$$ получаем:

$$2^x+1=2^{x+2}-2=4\cdot 2^x-2.$$

$$2^x-4\cdot 2^x=-2-1$$

$$-3\cdot 2^x=-3$$

$$2^x=1$$

$$x=0.$$

б) $$\frac{5^{4x-1}+3}{5^{4x}-3}=2$$

Умножим обе части на $$5^{4x}-3$$:

$$5^{4x-1}+3=2(5^{4x}-3).$$

Так как $$5^{4x-1}=\frac{1}{5}\cdot 5^{4x},$$ имеем:

$$\frac{1}{5}\cdot 5^{4x}+3=2\cdot 5^{4x}-6.$$

$$3+6=2\cdot 5^{4x}-\frac{1}{5}\cdot 5^{4x}$$

$$9=\frac{9}{5}\cdot 5^{4x}$$

$$5^{4x}=5$$

$$4x=1$$

$$x=\frac14=0{,}25.$$

в) $$\frac{3^{x+1}-1}{3^x+4}=2$$

$$3^{x+1}-1=2(3^x+4).$$

$$3\cdot 3^x-1=2\cdot 3^x+8$$

$$3\cdot 3^x-2\cdot 3^x=9$$

$$3^x=9$$

$$x=2.$$

г) $$\frac{7^{2x}-1}{7^{2x-1}+1}=3$$

$$7^{2x}-1=3(7^{2x-1}+1).$$

Так как $$7^{2x-1}=\frac{1}{7}\cdot 7^{2x},$$ получаем:

$$7^{2x}-1=3\left(\frac{1}{7}\cdot 7^{2x}+1\right).$$

$$7^{2x}-1=\frac{3}{7}\cdot 7^{2x}+3$$

$$7^{2x}-\frac{3}{7}\cdot 7^{2x}=4$$

$$\frac{4}{7}\cdot 7^{2x}=4$$

$$7^{2x}=7$$

$$2x=1$$

$$x=\frac12=0{,}5.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$0{,}25$$; в) $$2$$; г) $$0{,}5$$.