Упр.12.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$32x+4(x+1)=5\cdot2(-x)$$; б) $$5\cdot125x-26\cdot5x+5(1-x)=0$$.

а) $$32^x+4^{x+1}=5\cdot 2^{-x}$$

Представим всё в виде степеней числа $$2$$:

$$2^{5x}+4\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^{-x}=0$$

Умножим уравнение на $$2^x$$:

$$2^{6x}+4\cdot 2^{3x}-5=0$$

Обозначим $$t=2^{3x}$$, тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2+4t-5=0$$

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36$$

$$t_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}$$

$$t_1=1,\quad t_2=-5$$

Так как $$t=2^{3x}>0$$, значение $$t=-5$$ не подходит. Тогда

$$2^{3x}=1$$

$$3x=0$$

$$x=0$$

Ответ: $$0$$.

б) $$5\cdot 125^x-26\cdot 5^x+5^{1-x}=0$$

Представим всё в виде степеней числа $$5$$:

$$5\cdot 5^{3x}-26\cdot 5^x+5\cdot 5^{-x}=0$$

$$5^{3x+1}-26\cdot 5^x+5^{1-x}=0$$

Умножим уравнение на $$5^x$$:

$$5^{4x+1}-26\cdot 5^{2x}+5=0$$

Обозначим $$t=5^{2x}$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

$$5t^2-26t+5=0$$

$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=676-100=576$$

$$t_{1,2}=\frac{26\pm 24}{2\cdot 5}$$

$$t_1=5,\quad t_2=\frac{1}{5}$$

Тогда:

$$5^{2x}=5 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac12$$

$$5^{2x}=\frac15 \Rightarrow 2x=-1 \Rightarrow x=-\frac12$$

Ответ: $$x=\pm \frac12$$.