Упр.12.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$3^{3x+1}-4\cdot9^x=17\cdot3^x-6$$; б) $$3^2\cdot8^{x-1}+3\cdot(4^x+2^x)=1$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$3^{3x+1}-4\cdot 9^x=17\cdot 3^x-6$$

$$3\cdot 3^{3x}-4\cdot 3^{2x}-17\cdot 3^x+6=0.$$

Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:

$$3t^3-4t^2-17t+6=0.$$

Проверим корни и разложим на множители:

$$3t^3-4t^2-17t+6=(t-3)(3t^2+5t-2).$$

$$3t^2+5t-2=(3t-1)(t+2).$$

Тогда

$$(t-3)(3t-1)(t+2)=0.$$

С учётом $$t>0$$ получаем:

$$t=3 \quad \text{или} \quad t=\frac13.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$3^x=3 \Rightarrow x=1,$$

$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1.$$

Итак, $$x=-1$$ и $$x=1$$.

б) Преобразуем уравнение:

$$32\cdot 8^{x-1}+3(4^x+2^x)=1.$$

Запишем всё через основание $$2$$:

$$32\cdot 2^{3x-3}+3\cdot 2^{2x}+3\cdot 2^x=1.$$

Умножим на $$2^{3x}$$:

$$4+3\cdot 2^x+3\cdot 2^{2x}-2^{3x}=0.$$

Положим $$y=2^x$$, тогда $$y>0$$ и получаем:

$$y^3-3y^2-3y-4=0.$$

Разложим на множители:

$$y^3-3y^2-3y-4=(y-4)(y^2+y+1).$$

Так как $$y^2+y+1>0$$ при всех $$y$$, то

$$y-4=0 \Rightarrow y=4.$$

Следовательно,

$$2^x=4=2^2 \Rightarrow x=2.$$

Ответ

а) $$x=-1,\;1$$; б) $$x=2$$.