Упр.12.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$(2-\sqrt{3})^x+(2+\sqrt{3})^x-4=0$$; б) $$(3-2\sqrt{2})^x+(3+2\sqrt{2})^x-6=0$$

а) Преобразуем второе слагаемое:

$$(2+\sqrt3)^x=\left(\frac{1}{2-\sqrt3}\right)^x=\frac{1}{(2-\sqrt3)^x}.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$(2-\sqrt3)^x+\frac{1}{(2-\sqrt3)^x}-4=0.$$

Пусть $$y=(2-\sqrt3)^x$$, тогда $$y>0$$ и получаем:

$$y+\frac{1}{y}-4=0.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-4y+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=16-4=12,$$

$$y=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt3.$$

Теперь решаем два уравнения:

$$(2-\sqrt3)^x=2-\sqrt3 \Rightarrow x=1,$$

$$(2-\sqrt3)^x=2+\sqrt3=\frac{1}{2-\sqrt3} \Rightarrow x=-1.$$

б) Аналогично:

$$(3+2\sqrt2)^x=\frac{1}{(3-2\sqrt2)^x}.$$

Тогда

$$(3-2\sqrt2)^x+\frac{1}{(3-2\sqrt2)^x}-6=0.$$

Пусть $$y=(3-2\sqrt2)^x$$, тогда $$y>0$$ и

$$y+\frac{1}{y}-6=0.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-6y+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=36-4=32,$$

$$y=\frac{6\pm\sqrt{32}}{2}=3\pm2\sqrt2.$$

Получаем:

$$(3-2\sqrt2)^x=3-2\sqrt2 \Rightarrow x=1,$$

$$(3-2\sqrt2)^x=3+2\sqrt2=\frac{1}{3-2\sqrt2} \Rightarrow x=-1.$$

Ответ

а) $$x=\pm1$$; б) $$x=\pm1$$.