Упр.12.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$(19-6\sqrt{10})^x+6(\sqrt{10}-3)^x-1=0;$$
   б) $$(\sqrt{10}-3)^{4x}-6(19-6\sqrt{10})^x-1=0.$$

а) $$19-6\sqrt{10}=(\sqrt{10}-3)^2,$$ поэтому уравнение можно записать так:

$$(\sqrt{10}-3)^{2x}+6(\sqrt{10}-3)^x-1=0.$$

Введём замену:

$$y=(\sqrt{10}-3)^x.$$

Тогда получаем квадратное уравнение:

$$y^2+6y-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-1)=36+4=40,$$

$$y=\frac{-6\pm\sqrt{40}}{2}=-3\pm\sqrt{10}.$$

Так как $$\sqrt{10}-3>0$$ и $$\sqrt{10}-3<1,$$ то $$y=(\sqrt{10}-3)^x>0.$$

Подходит только значение

$$y=-3+\sqrt{10}=\sqrt{10}-3.$$

Тогда

$$(\sqrt{10}-3)^x=\sqrt{10}-3,$$

откуда

$$x=1.$$

б) $$19-6\sqrt{10}=(\sqrt{10}-3)^2,$$ поэтому

$$(\sqrt{10}-3)^{4x}-6(\sqrt{10}-3)^{2x}-1=0.$$

Введём замену:

$$y=(\sqrt{10}-3)^{2x}.$$

Тогда

$$y^2-6y-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-1)=36+4=40,$$

$$y=\frac{6\pm\sqrt{40}}{2}=3\pm\sqrt{10}.$$

Так как $$y=(\sqrt{10}-3)^{2x}>0,$$ то подходит только

$$y=3+\sqrt{10}.$$

Заметим, что

$$3+\sqrt{10}=\frac{1}{\sqrt{10}-3}=(\sqrt{10}-3)^{-1}.$$

Следовательно,

$$(\sqrt{10}-3)^{2x}=(\sqrt{10}-3)^{-1},$$

откуда

$$2x=-1,\qquad x=-\frac12.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$-\frac12$$.