Упр.12.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2(x^2+2x-6)-2(7-2x-x^2)=3{,}5$$; б) $$3(2x^2+x)=26+3(3-x-2x^2)$$.

а) Обозначим $$y=2^{x^2+2x-7},$$ тогда $$\frac{1}{y}=2^{7-x^2-2x}.$$

Получаем уравнение

$$2y-\frac{1}{y}=3{,}5.$$

Умножим на $$2y$$:

$$4y^2-2=7y,$$

$$4y^2-7y-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=49+32=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{8}.$$

Тогда

$$y_1=-\frac14,\qquad y_2=2.$$

Так как $$y=2^{x^2+2x-7}>0,$$ значение $$y_1=-\frac14$$ не подходит.

Остаётся

$$2^{x^2+2x-7}=2,$$

откуда

$$x^2+2x-7=1,$$

$$x^2+2x-8=0,$$

$$\left(x+4\right)\left(x-2\right)=0.$$

Следовательно, $$x=-4$$ или $$x=2.$$

б) Обозначим $$y=3^{2x^2+x-3},$$ тогда $$\frac{1}{y}=3^{3-2x^2-x}.$$

Имеем

$$3y=26+\frac{1}{y}.$$

Умножим на $$y$$:

$$3y^2=26y+1,$$

$$3y^2-26y-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=26^2+12=688,$$

$$y_{1,2}=\frac{26\pm \sqrt{688}}{6}.$$

Но удобнее заметить, что исходное уравнение можно переписать как

$$27y=26+\frac{1}{y},$$

то есть

$$27y^2-26y-1=0.$$

Тогда

$$D=26^2+108=784,$$

$$y_{1,2}=\frac{26\pm 28}{54}.$$

Получаем

$$y_1=-\frac{1}{27},\qquad y_2=1.$$

Так как $$y=3^{2x^2+x-3}>0,$$ значение $$y_1=-\frac{1}{27}$$ не подходит.

Остаётся

$$3^{2x^2+x-3}=1,$$

значит

$$2x^2+x-3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+24=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{4}.$$

Следовательно, $$x=-\frac32$$ или $$x=1.$$

Ответ

а) $$-4,\ 2$$; б) $$-\frac32,\ 1$$.