Упр.12.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(\sqrt{7}\right)^{2x+2}-50\left(\sqrt{7}\right)^x+7=0$$

б) $$\left(\sqrt{6}\right)^{2x+2}-37\left(\sqrt{6}\right)^x+6=0$$

Пусть $$y=(\sqrt{7})^x.$$ Тогда уравнение

$$\left(\sqrt{7}\right)^{2x+2}-50\left(\sqrt{7}\right)^x+7=0$$

преобразуется к виду

$$7\left(\sqrt{7}\right)^{2x}-50\left(\sqrt{7}\right)^x+7=0,$$

то есть

$$7y^2-50y+7=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=50^2-4\cdot 7\cdot 7=2500-196=2304,$$

$$y_{1,2}=\frac{50\pm 48}{2\cdot 7}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}, \qquad y_2=\frac{98}{14}=7.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\left(\sqrt{7}\right)^x=\frac{1}{7}=7^{-1}\Rightarrow \frac{x}{2}=-1 \Rightarrow x=-2,$$

$$\left(\sqrt{7}\right)^x=7 \Rightarrow \frac{x}{2}=1 \Rightarrow x=2.$$

Следовательно, решения уравнения:

$$x=-2,\;2.$$

Аналогично для уравнения

$$\left(\sqrt{6}\right)^{2x+2}-37\left(\sqrt{6}\right)^x+6=0$$

получаем

$$6\left(\sqrt{6}\right)^{2x}-37\left(\sqrt{6}\right)^x+6=0.$$

Пусть $$y=(\sqrt{6})^x.$$ Тогда

$$6y^2-37y+6=0.$$

Дискриминант:

$$D=37^2-4\cdot 6\cdot 6=1369-144=1225.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{37\pm 35}{2\cdot 6}.$$

Получаем

$$y_1=\frac{1}{6}, \qquad y_2=6.$$

Следовательно,

$$\left(\sqrt{6}\right)^x=\frac{1}{6}=6^{-1}\Rightarrow \frac{x}{2}=-1 \Rightarrow x=-2,$$

$$\left(\sqrt{6}\right)^x=6 \Rightarrow \frac{x}{2}=1 \Rightarrow x=2.$$

Итак, в обоих случаях решения одинаковы.

Ответ

а) $$x=-2,\;2$$; б) $$x=-2,\;2$$.