Упр.12.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$2^{2x+1}-5\cdot2^x-88=0$$;
б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}-\left(\frac{1}{2}\right)^{x-2}-32=0$$;
в) $$5^{2x+1}-26\cdot5^x+5=0$$;
г) $$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}+\left(\frac{1}{3}\right)^{x-2}-162=0$$.
а) $$2^{2x+1}-5\cdot 2^x-88=0.$$
Положим $$y=2^x,$$ тогда $$2^{2x+1}=2\cdot (2^x)^2=2y^2.$$ Получаем:
$$2y^2-5y-88=0.$$
$$D= (-5)^2-4\cdot 2\cdot(-88)=25+704=729,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 27}{4}.$$
Тогда
$$y_1=-\frac{11}{2}, \qquad y_2=8.$$
Так как $$y=2^x>0,$$ значение $$y_1$$ не подходит. Остаётся:
$$2^x=8=2^3,$$
откуда $$x=3.$$
б) $$\left(\frac12\right)^{2x}-\left(\frac12\right)^{x-2}-32=0.$$
Положим $$y=\left(\frac12\right)^x,$$ тогда
$$\left(\frac12\right)^{2x}=y^2,\qquad \left(\frac12\right)^{x-2}=\left(\frac12\right)^x\cdot \left(\frac12\right)^{-2}=4y.$$
Получаем:
$$y^2-4y-32=0.$$
$$D= (-4)^2-4\cdot 1\cdot(-32)=16+128=144,$$
$$y_{1,2}=\frac{4\pm 12}{2}.$$
Тогда
$$y_1=-4,\qquad y_2=8.$$
Так как $$y=\left(\frac12\right)^x>0,$$ значение $$y_1$$ не подходит. Из $$\left(\frac12\right)^x=8=2^3$$ получаем
$$2^{-x}=2^3,\qquad x=-3.$$
в) $$5^{2x+1}-26\cdot 5^x+5=0.$$
Положим $$y=5^x,$$ тогда $$5^{2x+1}=5\cdot (5^x)^2=5y^2.$$ Получаем:
$$5y^2-26y+5=0.$$
$$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=676-100=576,$$
$$y_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10}.$$
Следовательно,
$$y_1=\frac15,\qquad y_2=5.$$
Тогда
$$5^x=\frac15=5^{-1}\Rightarrow x=-1,$$
$$5^x=5\Rightarrow x=1.$$
г) $$\left(\frac13\right)^{2x}+\left(\frac13\right)^{x-2}-162=0.$$
Положим $$y=\left(\frac13\right)^x,$$ тогда
$$\left(\frac13\right)^{2x}=y^2,\qquad \left(\frac13\right)^{x-2}=9y.$$
Получаем:
$$y^2+9y-162=0.$$
$$D=9^2+4\cdot 162=81+648=729,$$
$$y_{1,2}=\frac{-9\pm 27}{2}.$$
Тогда
$$y_1=-18,\qquad y_2=9.$$
Так как $$y=\left(\frac13\right)^x>0,$$ значение $$y_1$$ не подходит. Из $$\left(\frac13\right)^x=9=3^2$$ получаем
$$3^{-x}=3^2,\qquad x=-2.$$
Ответ
а) $$3$$; б) $$-3$$; в) $$-1,\ 1$$; г) $$-2$$.
