Упр.12.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$4\left(\frac{1}{16}\right)^x-17\left(\frac{1}{4}\right)^x+4=0$$;
- б) $$(0{,}01)^x+9{,}9(0{,}1)^x-1=0$$;
- в) $$3\left(\frac{4}{9}\right)^x+7\left(\frac{2}{3}\right)^x-6=0$$;
- г) $$5\left(\frac{4}{25}\right)^x+23\left(\frac{2}{5}\right)^x-10=0$$.
а) $$4\left(\frac{1}{16}\right)^x-17\left(\frac{1}{4}\right)^x+4=0.$$
Так как $$\left(\frac{1}{16}\right)^x=\left(\frac{1}{4}\right)^{2x},$$ положим $$y=\left(\frac{1}{4}\right)^x,$$ тогда получим:
$$4y^2-17y+4=0.$$
$$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225,$$
$$y_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}.$$
Отсюда
$$y_1=\frac{1}{4}, \qquad y_2=4.$$
Тогда:
$$\left(\frac{1}{4}\right)^x=\frac{1}{4}\Rightarrow x=1,$$
$$\left(\frac{1}{4}\right)^x=4\Rightarrow x=-1.$$
Ответ: $$x=\pm 1.$$
б) $$0{,}01^x+9{,}9\cdot (0{,}1)^x-1=0.$$
Так как $$0{,}01^x=(0{,}1)^{2x},$$ положим $$y=(0{,}1)^x,$$ тогда:
$$y^2+9{,}9y-1=0.$$
Умножим на $$10$$:
$$10y^2+99y-10=0.$$
$$D=99^2+4\cdot 10\cdot 10=9801+400=10201,$$
$$y_{1,2}=\frac{-99\pm 101}{20}.$$
Получаем:
$$y_1=-10,\qquad y_2=0{,}1.$$
Так как $$y=(0{,}1)^x>0,$$ значение $$y_1=-10$$ не подходит. Тогда
$$(0{,}1)^x=0{,}1 \Rightarrow x=1.$$
Ответ: $$1.$$
в) $$3\left(\frac{4}{9}\right)^x+7\left(\frac{2}{3}\right)^x-6=0.$$
Так как $$\left(\frac{4}{9}\right)^x=\left(\frac{2}{3}\right)^{2x},$$ положим $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x,$$ тогда:
$$3y^2+7y-6=0.$$
$$D=7^2+4\cdot 3\cdot 6=49+72=121,$$
$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{6}.$$
Отсюда
$$y_1=-3,\qquad y_2=\frac{2}{3}.$$
Так как $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x>0,$$ значение $$y_1=-3$$ не подходит. Тогда
$$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{2}{3}\Rightarrow x=1.$$
Ответ: $$1.$$
г) $$5\left(\frac{4}{25}\right)^x+23\left(\frac{2}{5}\right)^x-10=0.$$
Так как $$\left(\frac{4}{25}\right)^x=\left(\frac{2}{5}\right)^{2x},$$ положим $$y=\left(\frac{2}{5}\right)^x,$$ тогда:
$$5y^2+23y-10=0.$$
$$D=23^2+4\cdot 5\cdot 10=529+200=729,$$
$$y_{1,2}=\frac{-23\pm 27}{10}.$$
Получаем:
$$y_1=-5,\qquad y_2=\frac{2}{5}.$$
Так как $$y=\left(\frac{2}{5}\right)^x>0,$$ значение $$y_1=-5$$ не подходит. Тогда
$$\left(\frac{2}{5}\right)^x=\frac{2}{5}\Rightarrow x=1.$$
Ответ: $$1.$$
