Упр.12.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 12.22. Решите уравнение:
   а) $$2\cdot4^x-5\cdot2^x+2=0$$;
   б) $$3\cdot9^x-10\cdot3^x+3=0$$;
   в) $$4\cdot\left(\frac{1}{16}\right)^x+15\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^x-4=0$$;
   г) $$\left(0{,}25\right)^x+1{,}5\left(0{,}5\right)^x-1=0$$.

а) Пусть $$y=2^x.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$2y^2-5y+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=2.$$

Тогда

$$2^x=\frac12 \Rightarrow x=-1,$$

$$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$

б) Пусть $$y=3^x.$$ Тогда

$$3y^2-10y+3=0.$$

$$D=100-36=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Получаем:

$$y_1=\frac13,\qquad y_2=3.$$

Тогда

$$3^x=\frac13 \Rightarrow x=-1,$$

$$3^x=3 \Rightarrow x=1.$$

в) Пусть $$y=\left(\frac14\right)^x.$$ Тогда

$$4y^2+15y-4=0.$$

$$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289,$$

$$y_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{8}.$$

Получаем:

$$y_1=-4,\qquad y_2=\frac14.$$

Так как $$\left(\frac14\right)^x>0,$$ значение $$y_1=-4$$ не подходит. Остаётся

$$\left(\frac14\right)^x=\frac14 \Rightarrow x=1.$$

г) Пусть $$y=(0{,}5)^x.$$ Тогда

$$2y^2+3y-2=0.$$

$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}.$$

Получаем:

$$y_1=-2,\qquad y_2=0{,}5.$$

Так как $$(0{,}5)^x>0,$$ значение $$y_1=-2$$ не подходит. Остаётся

$$(0{,}5)^x=0{,}5 \Rightarrow x=1.$$

Ответ

а) $$x=-1,\,1$$; б) $$x=-1,\,1$$; в) $$x=1$$; г) $$x=1$$.