Упр.12.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2^{2x}-6\cdot2^x+8=0$$; б) $$3^{2x}-6\cdot3^x-27=0$$; в) $$\left(\frac{1}{6}\right)^x-5\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^x-6=0$$; г) $$\left(\frac{1}{6}\right)^{2x}+5\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^x-6=0$$.

а) Пусть $$y=2^x,$$ тогда получаем квадратное уравнение:

$$y^2-6y+8=0.$$

$$D=6^2-4\cdot 8=36-32=4.$$

$$y_1=\frac{6-2}{2}=2,\qquad y_2=\frac{6+2}{2}=4.$$

Тогда:

$$2^x=2 \Rightarrow x=1,$$

$$2^x=4=2^2 \Rightarrow x=2.$$

Ответ: $$1; 2.$$

б) Пусть $$y=3^x,$$ тогда:

$$y^2-6y-27=0.$$

$$D=6^2+4\cdot 27=36+108=144.$$

$$y_1=\frac{6-12}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{6+12}{2}=9.$$

Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$3^x>0$$ при любом $$x.$$

Остаётся:

$$3^x=9=3^2 \Rightarrow x=2.$$

Ответ: $$2.$$

в) Пусть $$y=\left(\frac16\right)^x,$$ тогда:

$$y^2-5y-6=0.$$

$$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49.$$

$$y_1=\frac{5-7}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{5+7}{2}=6.$$

Значение $$y=-1$$ не подходит, так как $$\left(\frac16\right)^x>0.$$

Тогда:

$$\left(\frac16\right)^x=6=\left(\frac16\right)^{-1} \Rightarrow x=-1.$$

Ответ: $$-1.$$

г) Пусть $$y=\left(\frac16\right)^x,$$ тогда:

$$y^2+5y-6=0.$$

$$D=5^2+4\cdot 6=25+24=49.$$

$$y_1=\frac{-5-7}{2}=-6,\qquad y_2=\frac{-5+7}{2}=1.$$

Значение $$y=-6$$ не подходит, так как $$\left(\frac16\right)^x>0.$$

Остаётся:

$$\left(\frac16\right)^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Ответ: $$0.$$