Упр.12.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\left(3^{2x}-1\right)\left(3^{4x}+3^{2x}+1\right)=26$$;
   б) $$\left(5^{2x}+1\right)\left(5^{4x}-5^{2x}+1\right)=126$$;
   в) $$\left((\sqrt{7})^x-1\right)\left(7^x+(\sqrt{7})^x+1\right)=342$$;
   г) $$\left(\sqrt[3]{11}^x+1\right)\left(\sqrt[3]{121}^x-\sqrt[3]{11}^x+1\right)=122$$.

Используем формулы:

$$\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)=a^3-1,$$

$$\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)=a^3+1.$$

1. $$\left(3^{2x}-1\right)\left(3^{4x}+3^{2x}+1\right)=26$$

   Положим $$a=3^{2x}.$$ Тогда

   $$a^3-1=26,$$

   $$a^3=27,$$

   $$a=3.$$

   Значит,

   $$3^{2x}=3,$$

   $$2x=1,$$

   $$x=0{,}5.$$

2. $$\left(5^{2x}+1\right)\left(5^{4x}-5^{2x}+1\right)=126$$

   Положим $$a=5^{2x}.$$ Тогда

   $$a^3+1=126,$$

   $$a^3=125,$$

   $$a=5.$$

   Следовательно,

   $$5^{2x}=5,$$

   $$2x=1,$$

   $$x=0{,}5.$$

3. $$\left(\left(\sqrt7\right)^x-1\right)\left(7^x+\left(\sqrt7\right)^x+1\right)=342$$

   Положим $$a=\left(\sqrt7\right)^x.$$ Тогда $$7^x=a^2,$$ и получаем

   $$\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)=342,$$

   $$a^3-1=342,$$

   $$a^3=343,$$

   $$a=7.$$

   Значит,

   $$\left(\sqrt7\right)^x=7,$$

   $$7^{x/2}=7^1,$$

   $$\frac{x}{2}=1,$$

   $$x=2.$$

4. $$\left(\left(\sqrt[3]{11}\right)^x+1\right)\left(\left(\sqrt[3]{121}\right)^x-\left(\sqrt[3]{11}\right)^x+1\right)=122$$

   Положим $$a=\left(\sqrt[3]{11}\right)^x.$$ Тогда $$\left(\sqrt[3]{121}\right)^x=a^2,$$ и

   $$\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)=122,$$

   $$a^3+1=122,$$

   $$a^3=121,$$

   $$a=11.$$

   Следовательно,

   $$\left(\sqrt[3]{11}\right)^x=11,$$

   $$11^{x/3}=11^1,$$

   $$\frac{x}{3}=1,$$

   $$x=3.$$

Ответ: а) $$0{,}5$$; б) $$0{,}5$$; в) $$2$$; г) $$3$$.