Упр.12.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$$
2. $$2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{32}$$
3. $$3^x\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x+1}}=243$$
4. $$\left(0{,}1^{\sqrt{x+1}}\right)^{\sqrt{x+6}}=\frac{1}{10^6}$$

а) $$27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$$

$$27=3^3,\quad 9=3^2$$

$$\left(3^3\right)^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{\left(3^2\right)^{x+1}}$$

$$3^{3\sqrt{x-1}}=3^{x+1}$$

$$3\sqrt{x-1}=x+1$$

$$9(x-1)=x^2+2x+1$$

$$x^2-7x+10=0$$

$$D=49-40=9,\quad x_{1,2}=\frac{7\pm 3}{2}$$

$$x_1=2,\quad x_2=5$$

Проверка ОДЗ: $$x-1\ge 0,\; x\ge 1.$$ Оба корня подходят.

б) $$2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{32}$$

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{32}=\sqrt{64}=8=2^3$$

$$2^{\sqrt{13-x^2}}=2^3$$

$$\sqrt{13-x^2}=3$$

$$13-x^2=9$$

$$x^2=4$$

$$x=\pm 2$$

Проверка ОДЗ: $$13-x^2\ge 0.$$ Оба корня подходят.

в) $$3^x\cdot \left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243$$

$$\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=3^{-\sqrt{x+1}},\quad 243=3^5$$

$$3^{x-\sqrt{x+1}}=3^5$$

$$x-\sqrt{x+1}=5$$

$$\sqrt{x+1}=x-5$$

$$x+1=x^2-10x+25$$

$$x^2-11x+24=0$$

$$D=121-96=25,\quad x_{1,2}=\frac{11\pm 5}{2}$$

$$x_1=3,\quad x_2=8$$

Проверка ОДЗ: $$x+1\ge 0,\; x-5\ge 0.$$ Подходит только $$x=8$$.

г) $$\left(0{,}1^{\sqrt{x+1}}\right)^{\sqrt{x+6}}=\frac{1}{10^6}$$

$$0{,}1=\frac{1}{10},\quad \frac{1}{10^6}=0{,}1^6$$

$$0{,}1^{\sqrt{x+1}\cdot \sqrt{x+6}}=0{,}1^6$$

$$\sqrt{(x+1)(x+6)}=6$$

$$x^2+7x+6=36$$

$$x^2+7x-30=0$$

$$D=49+120=169,\quad x_{1,2}=\frac{-7\pm 13}{2}$$

$$x_1=-10,\quad x_2=3$$

Проверка ОДЗ: $$x+1\ge 0,\; x+6\ge 0.$$ Подходит только $$x=3$$.

Ответ

а) $$2,\;5$$; б) $$-2,\;2$$; в) $$8$$; г) $$3$$.