Упр.12.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2^{3x}-6\cdot2^{2x}+12\cdot2^x-8=0$$; б) $$\left(\frac{1}{2}\right)^{3x}-12\left(\frac{1}{2}\right)^{2x}+48\left(\frac{1}{2}\right)^x-64=0$$; в) $$5^x+6\sqrt[3]{25^x}+12\sqrt[3]{5^x}+8=343$$; г) $$2^x+3\sqrt[3]{4^x}+3\sqrt[3]{2^x}+1=27$$.

Положим в каждом пункте новую переменную.

1. $$2^{3x}-6\cdot 2^{2x}+12\cdot 2^x-8=0.$$

   Пусть $$t=2^x,$$ тогда $$t>0$$ и получаем

   $$t^3-6t^2+12t-8=0.$$

   Разложим на множители:

   $$t^3-6t^2+12t-8=(t-2)^3=0.$$

   Отсюда $$t=2,$$ значит, $$2^x=2,$$ поэтому $$x=1.$$

2. $$\left(\frac12\right)^{3x}-12\left(\frac12\right)^{2x}+48\left(\frac12\right)^x-64=0.$$

   Пусть $$t=\left(\frac12\right)^x,$$ тогда $$t>0$$ и

   $$t^3-12t^2+48t-64=0.$$

   Разложим на множители:

   $$t^3-12t^2+48t-64=(t-4)^3=0.$$

   Следовательно, $$t=4,$$ то есть

   $$\left(\frac12\right)^x=4=\left(\frac12\right)^{-2}.$$

   Значит, $$x=-2.$$

3. $$5^x+6\cdot \left(\sqrt[3]{25}\right)^x+12\cdot \left(\sqrt[3]{5}\right)^x+8=343.$$

   Пусть $$t=\left(\sqrt[3]{5}\right)^x=5^{x/3},$$ тогда

   $$5^x=t^3,\qquad \left(\sqrt[3]{25}\right)^x=5^{2x/3}=t^2.$$

   Получаем

   $$t^3+6t^2+12t+8=343,$$

   $$t^3+6t^2+12t+8=7^3.$$

   Тогда

   $$\left(t+2\right)^3=7^3,$$

   $$t+2=7,$$

   $$t=5.$$

   Значит,

   $$5^{x/3}=5,$$

   $$\frac{x}{3}=1,$$

   $$x=3.$$

4. $$2^x+3\cdot \left(\sqrt[3]{4}\right)^x+3\cdot \left(\sqrt[3]{2}\right)^x+1=27.$$

   Пусть $$t=\left(\sqrt[3]{2}\right)^x=2^{x/3},$$ тогда

   $$2^x=t^3,\qquad \left(\sqrt[3]{4}\right)^x=2^{2x/3}=t^2.$$

   Получаем

   $$t^3+3t^2+3t+1=27,$$

   $$\left(t+1\right)^3=3^3.$$

   Следовательно,

   $$t+1=3,$$

   $$t=2.$$

   Тогда

   $$2^{x/3}=2,$$

   $$\frac{x}{3}=1,$$

   $$x=3.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$-2$$; в) $$3$$; г) $$3$$.