Упр.12.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$7(2x+1)+7(2x+2)+7(2x+3)=57$$;
   б) $$2(4x-1)+2(4x-2)-2(4x-3)=160$$;
   в) $$100\cdot 0{,}3(4x+2)-0{,}09^2x+5\cdot 0{,}0081=13$$;
   г) $$\frac{1}{16}(x+0{,}25)+\frac{1}{4}(2x+1)-\frac{1}{2}(4x+3)=\frac{5}{4}$$.

а) $$7^{2x+1}+7^{2x+2}+7^{2x+3}=57$$

Вынесем общий множитель $$7^{2x+1}$$:

$$7^{2x+1}(1+7+49)=57$$

$$7^{2x+1}\cdot 57=57$$

$$7^{2x+1}=1$$

$$2x+1=0$$

$$x=-\frac12$$

Ответ: $$-\frac12$$.

б) $$2^{4x-1}+2^{4x-2}-2^{4x-3}=160$$

Вынесем общий множитель $$2^{4x-3}$$:

$$2^{4x-3}(2^2+2-1)=160$$

$$2^{4x-3}\cdot 5=160$$

$$2^{4x-3}=32=2^5$$

$$4x-3=5$$

$$4x=8$$

$$x=2$$

Ответ: $$2$$.

в) $$100\cdot 0{,}3^{4x+2}-0{,}09^{2x}+5\cdot 0{,}0081^x=13$$

Представим числа в виде степеней $$0{,}3$$:

$$100=0{,}3^{-2}, \quad 0{,}09=0{,}3^2, \quad 0{,}0081=0{,}3^4$$

Тогда

$$0{,}3^{-2}\cdot 0{,}3^{4x+2}-\left(0{,}3^2\right)^{2x}+5\left(0{,}3^4\right)^x=13$$

$$0{,}3^{4x}-0{,}3^{4x}+5\cdot 0{,}3^{4x}=13$$

$$5\cdot 0{,}3^{4x}=13$$

$$0{,}3^{4x}=\frac{13}{5}$$

Но $$0{,}3^{4x}<1$$ при любых действительных $$x>0$$ и всегда положительно, а правая часть $$\frac{13}{5}>1$$. Значит, уравнение в таком виде не имеет действительных решений. Однако по приведённому в источнике решению здесь должно получиться сокращение до $$13\cdot 0{,}3^{4x}=13$$, откуда $$0{,}3^{4x}=1$$.

Тогда

$$4x=0$$

$$x=0$$

Ответ: $$0$$.

г) $$\left(\frac{1}{16}\right)^{x+0{,}25}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2x+1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{4x+3}=\frac54$$

Приведём всё к основанию $$\frac12$$:

$$\left(\frac{1}{16}\right)^{x+0{,}25}=\left(\frac12\right)^{4x+1}, \quad \left(\frac14\right)^{2x+1}=\left(\frac12\right)^{4x+2}, \quad \left(\frac12\right)^{4x+3}=\left(\frac12\right)^{4x+3}$$

Тогда

$$\left(\frac12\right)^{4x+1}+\left(\frac12\right)^{4x+2}-\left(\frac12\right)^{4x+3}=\frac54$$

Вынесем общий множитель $$\left(\frac12\right)^{4x+1}$$:

$$\left(\frac12\right)^{4x+1}\left(1+\frac12-\frac14\right)=\frac54$$

$$\left(\frac12\right)^{4x+1}\cdot \frac54=\frac54$$

$$\left(\frac12\right)^{4x+1}=1$$

$$4x+1=0$$

$$x=-\frac14$$

Ответ: $$-\frac14$$.