Упр.12.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 12.17. Решите уравнение:
   
   а) $$3x-3(x+3)=-78$$;
   
   б) $$5(2x-1)-5(2x-3)=4{,}8$$;
   
   в) $$2\cdot\frac{1}{7}(3x+7)-7\cdot\frac{1}{7}(3x+8)=49$$;
   
   г) $$\frac{1}{3}(5x-1)+\frac{1}{3}\cdot5x=\frac{4}{9}$$.

а) $$3^x-3(x+3)=-78$$

$$3^x-3x-9=-78$$

$$3^x-3x=-69$$

Проверим целые значения. При $$x=1$$ получаем:

$$3^1-3\cdot 1=3-3=0,$$

что не подходит. Значит, нужно аккуратно раскрыть скобки в исходной записи как степень:

$$3^x-3^{x+3}=-78$$

$$3^x-3^x\cdot 3^3=-78$$

$$3^x(1-27)=-78$$

$$-26\cdot 3^x=-78$$

$$3^x=3$$

$$x=1$$

б) $$5^{2x-1}-5^{2x-3}=4{,}8$$

$$5^{2x-3}(5^2-1)=4{,}8$$

$$5^{2x-3}\cdot 24=4{,}8$$

$$5^{2x-3}=\frac{4{,}8}{24}=0{,}2=\frac{1}{5}$$

$$5^{2x-3}=5^{-1}$$

$$2x-3=-1$$

$$2x=2$$

$$x=1$$

в) $$2\cdot \left(\frac17\right)^{3x+7}-7\cdot \left(\frac17\right)^{3x+8}=49$$

$$\left(\frac17\right)^{3x+7}\left(2-7\cdot \frac17\right)=49$$

$$\left(\frac17\right)^{3x+7}(2-1)=49$$

$$\left(\frac17\right)^{3x+7}=49=7^2$$

$$\left(\frac17\right)^{3x+7}=\left(\frac17\right)^{-2}$$

$$3x+7=-2$$

$$3x=-9$$

$$x=-3$$

г) $$\left(\frac13\right)^{5x-1}+\left(\frac13\right)^{5x}=\frac49$$

$$\left(\frac13\right)^{5x-1}=\left(\frac13\right)^{5x}\cdot \left(\frac13\right)^{-1}=3\left(\frac13\right)^{5x}$$

Тогда

$$\left(\frac13\right)^{5x}(3+1)=\frac49$$

$$4\left(\frac13\right)^{5x}=\frac49$$

$$\left(\frac13\right)^{5x}=\frac19=\left(\frac13\right)^2$$

$$5x=2$$

$$x=\frac25=0{,}4$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$; в) $$-3$$; г) $$0{,}4$$.