Упр.12.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Преобразуем правую часть:

$$\frac{2}{\sqrt5+2}=\frac{2(\sqrt5-2)}{(\sqrt5+2)(\sqrt5-2)}=\frac{2(\sqrt5-2)}{5-4}=2(\sqrt5-2).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$4(\sqrt5-2)^{x-12}=\bigl(2(\sqrt5-2)\bigr)^{x-12}.$$

Запишем левую часть как степень с основанием $$2(\sqrt5-2)$$:

$$4(\sqrt5-2)^{x-12}=2^2(\sqrt5-2)^{x-12}.$$

Так как $$2(\sqrt5-2)\cdot 2(\sqrt5+2)=4\bigl((\sqrt5-2)(\sqrt5+2)\bigr)=4,$$ то

$$\bigl(2(\sqrt5-2)\bigr)^{x-12}=2^{x-12}(\sqrt5-2)^{x-12}.$$

Следовательно,

$$2^2(\sqrt5-2)^{x-12}=2^{x-12}(\sqrt5-2)^{x-12}.$$

Сокращаем на $$(\sqrt5-2)^{x-12}$$:

$$2^2=2^{x-12}.$$

Отсюда

$$x-12=2,$$

$$x=14.$$

б) Аналогично преобразуем правую часть:

$$\frac{3}{3+\sqrt8}=\frac{3(3-\sqrt8)}{(3+\sqrt8)(3-\sqrt8)}=\frac{3(3-\sqrt8)}{9-8}=3(3-\sqrt8).$$

Тогда

$$9(3-\sqrt8)^{2x+1}=\bigl(3(3-\sqrt8)\bigr)^{2x+1}.$$

Левую часть запишем как $$3^2(3-\sqrt8)^{2x+1}$$, а правую — как

$$3^{2x+1}(3-\sqrt8)^{2x+1}.$$

Получаем

$$3^2(3-\sqrt8)^{2x+1}=3^{2x+1}(3-\sqrt8)^{2x+1}.$$

Сокращаем на $$(3-\sqrt8)^{2x+1}$$:

$$3^2=3^{2x+1}.$$

Значит,

$$2x+1=2,$$

$$2x=1,$$

$$x=\frac12.$$

Ответ

а) $$14$$; б) $$\frac12$$.