Упр.12.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2^{4x+2}\cdot5^{-3x-1}=6{,}25\cdot2^{x+1}$$;
   б) $$3^{5x-1}\cdot7^{2x-2}=3^{3x+1}$$.

а) Преобразуем правую часть:

$$6{,}25\cdot 2^{x+1}= \frac{25}{4}\cdot 2^{x+1}=25\cdot 2^{x-1}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2^{4x+2}\cdot 5^{-3x-1}=25\cdot 2^{x-1}.$$

Разделим обе части на $$2^{x-1}$$:

$$2^{3x+3}\cdot 5^{-3x-1}=25.$$

Представим $$25$$ как $$5^2$$ и выделим степени с одинаковыми показателями:

$$2^{3x+3}\cdot 5^{-3x-1}=5^2.$$

Перепишем левую часть:

$$2^{3x+3}\cdot 5^{-3x-1}=2^3\cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{3x}\cdot \frac{1}{5}.$$

После приведения к одинаковому основанию получаем

$$\left(\frac{2}{5}\right)^{3x}=\left(\frac{2}{5}\right)^{-3}.$$

Следовательно,

$$3x=-3,\qquad x=-1.$$

б) Преобразуем правую часть:

$$3^{3x+1}=3^{3x}\cdot 3.$$

Тогда

$$3^{5x-1}\cdot 7^{2x-2}=3^{3x}\cdot 3.$$

Разделим обе части на $$3^{3x}$$:

$$3^{2x-1}\cdot 7^{2x-2}=3.$$

Представим левую часть в виде степеней с одинаковым показателем:

$$3^{2x-1}\cdot 7^{2x-2}=3^{2x-2}\cdot 3\cdot 7^{2x-2}=3\cdot (3\cdot 7)^{2x-2}.$$

Получаем

$$3\cdot 21^{2x-2}=3,$$

откуда

$$21^{2x-2}=1.$$

Так как $$21\neq 1$$, то

$$2x-2=0,\qquad x=1.$$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$1$$.