Упр.12.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$3×2/9x=27$$; б) $$2×2/4x=4^4$$; в) $$7×2/49^3x=7^7$$; г) $$2^2×2/4^3x=4^4$$.
а) $$\frac{3^{x^2}}{9^x}=27$$
Так как $$9^x=(3^2)^x=3^{2x}$$ и $$27=3^3$$, получаем:
$$3^{x^2-2x}=3^3$$
Следовательно,
$$x^2-2x=3$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3$$
б) $$\frac{2^{x^2}}{4^x}=4^4$$
Преобразуем к основанию $$2$$:
$$4^x=(2^2)^x=2^{2x},\qquad 4^4=(2^2)^4=2^8$$
Тогда
$$2^{x^2-2x}=2^8$$
Отсюда
$$x^2-2x=8$$
$$x^2-2x-8=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 6}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=4$$
в) $$\frac{7^{x^2}}{49^{3x}}=7^7$$
Так как $$49^{3x}=(7^2)^{3x}=7^{6x}$$, имеем:
$$7^{x^2-6x}=7^7$$
Следовательно,
$$x^2-6x=7$$
$$x^2-6x-7=0$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 8}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=7$$
г) $$\frac{2^{2x^2}}{4^{3x}}=4^4$$
Преобразуем к основанию $$2$$:
$$4^{3x}=(2^2)^{3x}=2^{6x},\qquad 4^4=(2^2)^4=2^8$$
Тогда
$$2^{2x^2-6x}=2^8$$
Отсюда
$$2x^2-6x=8$$
$$x^2-3x-4=0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=4$$
Ответ
а) $$-1;\ 3$$; б) $$-2;\ 4$$; в) $$-1;\ 7$$; г) $$-1;\ 4$$.
