Упр.11.82 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

$$y=20\cdot 5^{\sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x}$$

Представим показатель степени в виде одной синусоиды:

$$\sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=2\left(\frac12\sin 4x+\frac{\sqrt3}{2}\cos 4x\right)=2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$y=20\cdot 5^{2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)}=20\cdot 5^{2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)-1}\cdot 5.$$

Так как

$$-1\le \sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$

то

$$-2\le 2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)\le 2,$$

$$-3\le 2\sin\left(4x+\frac{\pi}{3}\right)-1\le 1.$$

Следовательно, показатель степени меняется от $$-3$$ до $$1$$, а значит

$$20\cdot 5^{-3}\le y\le 20\cdot 5^1.$$

Вычислим:

$$20\cdot 5^{-3}=\frac{20}{125}=0{,}16,\qquad 20\cdot 5=100.$$

Так как требуется найти наименьшее и наибольшее целочисленные значения функции, получаем:

$$y_{\min}=1,\qquad y_{\max}=100.$$

Ответ: 1; 100.