Упр.11.81 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Преобразуем первую функцию:

$$f(x)=25\cos 2x-\sin^4 x=25(1-2\sin^2 x)-\sin^4 x=-\sin^4 x-50\sin^2 x+25.$$

Положим $$t=\sin^2 x,$$ тогда $$0\le t\le 1$$ и

$$f(t)=-t^2-50t+25.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение достигается при $$t=0$$:

$$f_{\max}=25.$$

Для второй функции

$$g(x)=25\cdot 5^{(\pi-x)^2}.$$

Так как $$(\pi-x)^2\ge 0,$$ то

$$5^{(\pi-x)^2}\ge 1,$$

следовательно,

$$g(x)\ge 25.$$

Равенство $$f(x)=g(x)$$ возможно только при одновременном выполнении условий

$$f(x)=25,\qquad g(x)=25.$$

Из $$f(x)=25$$ получаем $$\sin x=0,$$ то есть

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Из $$g(x)=25$$ имеем

$$5^{(\pi-x)^2}=1 \Rightarrow (\pi-x)^2=0 \Rightarrow x=\pi.$$

Общее значение, при котором график $$y=f(x)$$ не ниже графика $$y=g(x),$$ — это

$$x=\pi.$$

б) Преобразуем первую функцию:

$$f(x)=7^{1-|6x-5\pi|}.$$

Так как $$|6x-5\pi|\ge 0,$$ то

$$1-|6x-5\pi|\le 1,$$

значит

$$f(x)\le 7.$$

Для второй функции

$$g(x)=\sin^2 x-\sin x+7{,}25.$$

Положим $$t=\sin x,$$ тогда $$-1\le t\le 1$$ и

$$g(t)=t^2-t+7{,}25.$$

Минимум этой параболы достигается при

$$t=\frac{-(-1)}{2\cdot 1}=\frac12,$$

то есть при

$$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \text{ или } x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

При этом

$$g_{\min}=\left(\frac12\right)^2-\frac12+7{,}25=7.$$

Чтобы выполнялось неравенство $$f(x)\ge g(x),$$ нужно, чтобы обе функции были равны $$7.$$

Из $$f(x)=7$$ получаем

$$1-|6x-5\pi|=1 \Rightarrow |6x-5\pi|=0 \Rightarrow x=\frac{5\pi}{6}.$$

Это значение подходит и для второй функции, так как

$$\sin \frac{5\pi}{6}=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\frac{5\pi}{6}.$$

Ответ

а) $$x=\pi$$; б) $$x=\frac{5\pi}{6}$$.