Упр.11.79 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(\tg \frac{3\pi}{8}\right)^{x+2}=-7-x^3.$$

Так как $$\tg \frac{3\pi}{8}=1+\sqrt{2}>1,$$ левая часть возрастает по $$x,$$ а правая часть $$-7-x^3$$ убывает по $$x.$$ Значит, уравнение может иметь не более одного решения.

Проверим значение $$x=-2$$:

$$\left(\tg \frac{3\pi}{8}\right)^{(-2)+2}=\left(\tg \frac{3\pi}{8}\right)^0=1,$$

$$-7-(-2)^3=-7+8=1.$$

Следовательно, $$x=-2$$ — решение уравнения.

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sin \frac{\pi}{10}\right)^{x-3}=\sqrt[4]{x-2}.$$

Так как $$0<\sin \frac{\pi}{10}<1,$$ левая часть убывает по $$x.$$ Правая часть $$\sqrt[4]{x-2}$$ возрастает при $$x\ge 2.$$ Значит, уравнение может иметь не более одного решения.

Проверим значение $$x=3$$:

$$\left(\sin \frac{\pi}{10}\right)^{3-3}=\left(\sin \frac{\pi}{10}\right)^0=1,$$

$$\sqrt[4]{3-2}=\sqrt[4]{1}=1.$$

Следовательно, $$x=3$$ — решение уравнения.

Ответ: а) $$x=-2$$; б) $$x=3$$.