Упр.11.78 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите наибольшее целочисленное значение функции $$y=10^{\sin 2x\cos 3x+\cos 2x\sin 3x+0{,}5}$$.

   б) Сколько целых чисел принадлежит области значений функции $$y=30\cdot 3^{\cos 2{,}5x\cos 3{,}5x+\sin 2{,}5x\sin 3{,}5x-2}$$?

а) Используем формулу суммы синуса и косинуса:

$$\sin 2x\cos 3x+\cos 2x\sin 3x=\sin(2x+3x)=\sin 5x.$$

Тогда

$$y=10^{\sin 5x+0,5}.$$

Так как $$-1\le \sin 5x\le 1,$$ то

$$-0,5\le \sin 5x+0,5\le 1,5.$$

Наибольшее значение функции достигается при $$\sin 5x=1$$ и равно

$$y_{\max}=10^{1,5}=10\sqrt{10}\approx 31,6.$$

Наибольшее целочисленное значение равно $$31.$$

б) Аналогично:

$$\cos 2{,}5x\cos 3{,}5x+\sin 2{,}5x\sin 3{,}5x=\cos(2{,}5x-3{,}5x)=\cos x.$$

Тогда

$$y=30\cdot 3^{\cos x-2}.$$

Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

$$-3\le \cos x-2\le -1.$$

Следовательно,

$$30\cdot 3^{-3}\le y\le 30\cdot 3^{-1},$$

то есть

$$\frac{10}{9}\le y\le 10.$$

Целые числа из этого промежутка:

$$2,3,4,5,6,7,8,9,10.$$

Их 9.

Ответ: а) 31; б) 9.