Упр.11.77 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2x-1\geq\sqrt{x}$$; б) $$\frac{1}{4}x\leq\sqrt{x}+1$$; в) $$3x-1\geq-\sqrt{x}$$; г) $$\frac{1}{3}x\geq\sqrt{x}+1$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$2^x-1\ge \sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Функция $$y=2^x-1$$ возрастает на $$\mathbb{R},$$ а функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает при $$x\ge 0.$$

   Проверим точку пересечения:

   $$x=0:\quad 2^0-1=0,\quad \sqrt{0}=0.$$

   При $$x\ge 1$$ имеем $$2^x-1\ge \sqrt{x},$$ а при $$0\le x<1$$ неравенство не выполняется, кроме точки $$x=0.$$

   Следовательно,

   $$x\in \{0\}\cup [1;+\infty).$$

2. $$\left(\frac14\right)^x\le \sqrt{x}+1$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Функция $$f(x)=\left(\frac14\right)^x$$ убывает, а функция $$g(x)=\sqrt{x}+1$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$

   Проверим точку $$x=0$$:

   $$\left(\frac14\right)^0=1,\qquad \sqrt{0}+1=1.$$

   Так как левая часть убывает, а правая возрастает, то при всех $$x\ge 0$$ неравенство выполняется.

   Значит,

   $$x\in [0;+\infty).$$

3. $$3^x-1\ge -\sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Функция $$f(x)=3^x-1$$ возрастает, а функция $$g(x)=-\sqrt{x}$$ убывает на $$[0;+\infty).$$

   Найдём точку пересечения:

   $$x=0:\quad 3^0-1=0,\quad -\sqrt{0}=0.$$

   Так как левая часть возрастает, а правая убывает, то при всех $$x\ge 0$$ выполняется неравенство.

   Следовательно,

   $$x\in [0;+\infty).$$

4. $$\left(\frac13\right)^x\ge \sqrt{x}+1$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Функция $$f(x)=\left(\frac13\right)^x$$ убывает, а функция $$g(x)=\sqrt{x}+1$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$

   Проверим точку $$x=0$$:

   $$\left(\frac13\right)^0=1,\qquad \sqrt{0}+1=1.$$

   При $$x>0$$ левая часть становится меньше 1, а правая — больше 1, поэтому неравенство уже не выполняется.

   Значит,

   $$x=0.$$

Ответ

а) $$x\in \{0\}\cup [1;+\infty);$$
б) $$x\in [0;+\infty);$$
в) $$x\in [0;+\infty);$$
г) $$x=0.$$