Упр.11.75 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$2x+1\ge\cos x$$;

б) $$2|x|+1>2\cos x$$;

в) $$2x\le|x+3|$$;

г) $$\frac{1}{3}x\ge|x+4|$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$2^x+1\ge \cos x$$

   Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, то

   $$2^x+1>1.$$

   С другой стороны,

   $$-1\le \cos x\le 1.$$

   Значит, левая часть всегда больше или равна правой, поэтому неравенство верно при всех $$x$$.

   Ответ: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

2. $$2^{|x|}+1>2\cos x$$

   Поскольку $$|x|\ge 0$$, то

   $$2^{|x|}\ge 2^0=1,$$

   следовательно,

   $$2^{|x|}+1\ge 2.$$

   А так как

   $$-1\le \cos x\le 1,$$

   то

   $$-2\le 2\cos x\le 2.$$

   Равенство $$2^{|x|}+1=2\cos x$$ возможно только при $$x=0$$, но в этом случае получаем

   $$2^{|0|}+1=2,\qquad 2\cos 0=2,$$

   а неравенство строгое, значит $$x=0$$ не подходит.

   Ответ: $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

3. $$\left(\frac13\right)^x+1<\sin x$$

   Так как $$\left(\frac13\right)^x>0$$ при любом $$x$$, то

   $$\left(\frac13\right)^x+1>1.$$

   Но

   $$\sin x\le 1.$$

   Следовательно, левая часть всегда строго больше правой, поэтому решений нет.

   Ответ: $$\varnothing.$$

4. $$3^{|x|}\le \cos 2x$$

   Поскольку $$|x|\ge 0$$, то

   $$3^{|x|}\ge 3^0=1.$$

   С другой стороны,

   $$\cos 2x\le 1.$$

   Значит, для выполнения неравенства нужно, чтобы одновременно было

   $$3^{|x|}=1,\qquad \cos 2x=1.$$

   Из $$3^{|x|}=1$$ получаем $$|x|=0$$, то есть $$x=0$$. Проверка:

   $$3^{|0|}=1,\qquad \cos 0=1.$$

   Неравенство выполняется.

   Ответ: $$x=0.$$