Упр.11.74 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$2x \ge \frac{2}{x}$$; б) $$\frac{1}{4}x < -\frac{4}{x}$$; в) $$5x \le \frac{5}{x}$$; г) $$\frac{1}{8}x > -\frac{8}{x}$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$f(x)=2^x$$ и $$g(x)=\frac{2}{x}.$$

Функция $$f(x)=2^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=\frac{2}{x}$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$. При $$x=1$$ получаем:

$$2^1=2,\qquad \frac{2}{1}=2.$$

Значит, на положительной полуоси неравенство выполняется при $$x\ge 1$$. При $$x<0$$ правая часть отрицательна, а левая положительна, поэтому неравенство тоже верно.

Ответ: $$x\in(-\infty;0)\cup[1;+\infty).$$

б) Рассмотрим функции $$f(x)=\left(\frac14\right)^x$$ и $$g(x)=-\frac{4}{x}.$$

Функция $$f(x)=\left(\frac14\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=-\frac{4}{x}$$ возрастает на $$(-\infty;0)$$. При $$x=-1$$:

$$\left(\frac14\right)^{-1}=4,\qquad -\frac{4}{-1}=4.$$

Следовательно, неравенство выполняется при $$-1<x<0$$.

Ответ: $$x\in(-1;0).$$

в) Рассмотрим функции $$f(x)=5^x$$ и $$g(x)=\frac{5}{x}.$$

Функция $$f(x)=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=\frac{5}{x}$$ убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$. При $$x=1$$:

$$5^1=5,\qquad \frac{5}{1}=5.$$

Значит, решение на положительной полуоси:

$$0<x\le 1.$$

Ответ: $$x\in(0;1].$$