Упр.11.73 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 11.73. Решите неравенство:
   а) $$3x \ge 4-x$$;
   б) $$\frac{1}{2}x \le x+3$$;
   в) $$5x < 6-x$$;
   г) $$\frac{1}{7}x > x+8$$.

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$3^x \ge 4-x$$

   Функция $$f(x)=3^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=4-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Значит, неравенство выполняется при всех $$x$$, начиная с точки их пересечения.

   Проверим $$x=1$$:

   $$3^1=3,\qquad 4-1=3.$$

   Следовательно, $$x \ge 1$$.

2. $$\left(\frac12\right)^x \le x+3$$

   Функция $$f(x)=\left(\frac12\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=x+3$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Точка пересечения находится при $$x=-1$$:

   $$\left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad -1+3=2.$$

   Значит, $$x \ge -1$$.

3. $$5^x < 6-x$$

   Функция $$f(x)=5^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=6-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку пересечения:

   $$5^1=5,\qquad 6-1=5.$$

   Так как требуется строгое неравенство, получаем $$x<1$$.

4. $$\left(\frac17\right)^x > x+8$$

   Функция $$f(x)=\left(\frac17\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=x+8$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Точка пересечения:

   $$\left(\frac17\right)^{-1}=7,\qquad -1+8=7.$$

   Следовательно, при строгом неравенстве $$x<-1$$.

Ответ

а) $$x \in [1;+\infty)$$; б) $$x \in [-1;+\infty)$$; в) $$x \in (-\infty;1)$$; г) $$x \in (-\infty;-1)$$.