Упр.11.72 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ график заданной показательной функции расположен ниже графика заданной линейной функции:

1. а) $$y=2^x$$, $$y=-\frac{3}{2}x-1$$;
2. б) $$y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$$, $$y=-x-2$$;
3. в) $$y=\left(\frac{1}{5}\right)^x$$, $$y=3x+1$$;
4. г) $$y=3^x$$, $$y=-2x+5$$?

Сравним значения функций и найдём, при каких $$x$$ выполняется неравенство $$y_{\text{показ}}

Ход решения

1. а) $$2^x<-\frac{3}{2}x-1.$$

   Проверим точку пересечения:

   $$x=-1:\quad 2^{-1}=\frac12,\qquad -\frac{3}{2}\cdot(-1)-1=\frac32-1=\frac12.$$

   При $$x=-1$$ графики пересекаются. Так как функция $$y=2^x$$ возрастает, а функция $$y=-\frac{3}{2}x-1$$ убывает, то слева от точки пересечения показательная функция ниже линейной.

   Следовательно, $$x<-1.$$

2. б) $$\left(\frac12\right)^x<-x-2.$$

   Проверим несколько значений:

   $$x=-2:\quad \left(\frac12\right)^{-2}=4,\qquad -(-2)-2=0,$$

   $$x=-1:\quad \left(\frac12\right)^{-1}=2,\qquad -(-1)-2=-1,$$

   $$x=0:\quad \left(\frac12\right)^0=1,\qquad -0-2=-2.$$

   Во всех случаях показательная функция больше линейной, значит точек, где $$\left(\frac12\right)^x<-x-2,$$ нет.

   Следовательно, решений нет.

3. в) $$\left(\frac15\right)^x<3x+1.$$

   Найдём точку пересечения:

   $$x=0:\quad \left(\frac15\right)^0=1,\qquad 3\cdot 0+1=1.$$

   При $$x<0$$ левая часть больше $$1$$, а правая меньше $$1$$, поэтому неравенство не выполняется. При $$x>0$$ показательная функция убывает, а линейная возрастает, значит после точки пересечения выполняется нужное неравенство.

   Итак, $$x>0.$$

4. г) $$3^x<-2x+5.$$

   Проверим точку пересечения:

   $$x=1:\quad 3^1=3,\qquad -2\cdot 1+5=3.$$

   Функция $$y=3^x$$ возрастает, а функция $$y=-2x+5$$ убывает, поэтому слева от точки пересечения показательная функция ниже линейной.

   Следовательно, $$x<1.$$

Ответ

а) $$x<-1$$; б) решений нет; в) $$x>0$$; г) $$x<1$$.