Упр.11.71 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$y=2x,\quad y=x-2$$; б) $$y=\frac{2}{5}x,\quad y=x+1$$; в) $$y=\sqrt{2}x,\quad y=x-4$$; г) $$y=\frac{3}{7}x,\quad y=-x-2$$.

Подробный ответ

Сравним значения функций в точке пересечения графиков. Для этого решим соответствующие уравнения.

$$2^x=x-2.$$
Показательная функция $$y=2^x$$ при всех $$x$$ положительна, а прямая $$y=x-2$$ принимает значения меньше или равные нулю при $$x\le 2$$. Проверим, есть ли пересечение:
при $$x=0$$ имеем $$2^0=1$$ и $$0-2=-2$$, то есть $$2^0>0-2$$;
при больших $$x$$ экспонента растёт быстрее прямой, поэтому график $$y=2^x$$ лежит выше графика $$y=x-2$$ при всех $$x$$.
Следовательно, $$2^x>x-2$$ при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$.
$$\left(\frac25\right)^x=x+1.$$
Функция $$y=\left(\frac25\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=x+1$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку пересечения:
при $$x=0$$ получаем $$\left(\frac25\right)^0=1$$ и $$0+1=1$$.
Значит, графики пересекаются при $$x=0$$, и слева от этой точки график показательной функции выше графика прямой.
Итак, $$\left(\frac25\right)^x>x+1$$ при $$x\in(-\infty;0)$$.
$$\left(\sqrt2\right)^x=x-4.$$
Функция $$y=\left(\sqrt2\right)^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а прямая $$y=x-4$$ тоже возрастает. Проверим точку пересечения:
при $$x=4$$ имеем $$\left(\sqrt2\right)^4=4$$ и $$4-4=0$$, значит, равенства нет;
при $$x=0$$: $$\left(\sqrt2\right)^0=1$$, $$0-4=-4$$, то есть $$\left(\sqrt2\right)^0>0-4$$.
Так как показательная функция растёт быстрее прямой, то неравенство выполняется при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$.
$$\left(\frac37\right)^x=-x-2.$$
Функция $$y=\left(\frac37\right)^x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$y=-x-2$$ тоже убывает на $$\mathbb{R}$$. Проверим точку пересечения:
при $$x=0$$: $$\left(\frac37\right)^0=1$$, $$-0-2=-2$$, значит, $$\left(\frac37\right)^0>-0-2$$.
Следовательно, график показательной функции лежит выше графика прямой при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$.